Micro

4.3.3. Modelo con interacción de características inobservables
En algunos casos podemos estar interesados en la interacción entre variables inobservables y las variables explicativas. Obtener estimadores consistentes para estos casos es más difícil, sin embargo la variable proxi puede resolver este problema.
Escribiendo el modelo estructural con variables inobservable q:

Donde condicionar acero significa suponer sobre el error estructural v
E(v/x,q)=0 (4.31)
Para simplificar tenemos que q interactuó solamente con una variable explicatoria Xk
Antes de discutir la estimación de la ecuación (4.30) podemos tener una explicación para los parámetros en esta ecuación, como que la interacción xkq es inobservable. (Este tópico fue discutido más ampliamente en lasección 2.2.5). Si xk es una variables esencialmente continua el efecto parcial de xk sobre el E(y/x,q) es

Luego el efecto parcial de xk realmente depende del nivel de q. Porque q no está identificado para ninguno en la población, la ecuación (4.32) puede nunca ser estimada, incluso si tuviéramos el estimador γ2 (lo cual en general no podemos). Pero podemos tener un promedio de la ecuación (4.32) através de una distribución de población de q. Asumiendo E(q)=0, el efecto parcial promedio (APE) de xk es:

Una interpretación similar se tiene para la variable discreta xk. Por ejemplo si xk es binaria, entonces y βk es el promedio de la diferencia sobre la distribución de q. En este caso, βk es llamada el efecto promedio tratado (ATE). Esto nombre se deriva del caso donde xk representa algúntratamiento recibido, como la participación en un programa de entrenamiento para el trabajo o la participación en un programa de mantenimiento de los ingresos. Nosotros consideraremos el caso de tratamiento binario en el Capítulo 18, donde introducimos un marco de referencia hipotético para la estimación de los efectos promedio tratados.
Nuestro supuesto que E(q)=0 es sin pérdida de generalidad.Usando simple álgebra podemos mostrar que si luego podemos estimar consistentemente que es el efecto parcial promedio.
Si los elementos de X son exógenos en el sentido que E(q/x)=0, podemos estimar consistentemente para cada βj con una regresión de MCO, donde q y xkq son sólo parte del término de error. Este resultado se deduce de las expectativas iteradas aplicadas a la ecuación (4.30),la cual muestra que, La ecuación resultante probablemente tuvo heterocedasticidad, pero esto es fácilmente tratado. Por cierto este es un caso donde solamente asumimos que q y x son no correlacionadas, que no sería suficiente para garantizar consistencia de MCO. En el modelo actual, debemos suponer una variable proxi más fuerte que la utilizada en la sección 4.3.2:

Donde ahora suponemos ztiene un promedio cero en la población.  Bajo estas dos variables proxi supuestas, las expectativas iteradas proporcionan:

Y los parámetros son consistentemente estimados por MCO.
Si no definimos nuestra proxi para tener un valor cero en la población, entonces la estimación de la ecuación (4.35) por MCO, no estima consistentemente βk. Si entonces tendríamos que escribir en cuyo caso el valor delcoeficiente sobre xk en la ecuación (4.35) podría ser En la práctica, podríamos no saber lo que significa en la población la variable proxi, en cuyo caso la variable proxi debería ser reducida en la muestra antes e interactuar con xk.
Si mantenemos la heterocedasticidad en el modelo estructural, que es - entonces debe haber heterocedasticidad en Var(y/x,z). Usando la propiedad CV.3 del apéndice2A, esto puede ser mostrado como:

Incluso si Var (q/x,z) es constante, Var(y/x,z) depende de xk. Esta situación puede tratarse fácilmente, computando el estadístico robusto-heterocedasticidad, el cual se permite para heterocedasticidad de forma arbitraria.
Ejemplo 4.5 (El retorno de la educación depende de la habilidad) Considere una ampliación de la ecuación de salario (4.29):

Entonces...