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FUNCION PRIMITIVA o anti derivada

Una función primitiva es aquella que después de haber sido derivada e integrada no vuelve exactamente a su función original, esto será por haber agregado la constate de integración.
La función que contenga la constante de integración será la anti deriva más general.


Se dice q una función F es una anti derivada de f si F´(x)=f(x)
Por ejemplo:

Antiderivada ______________________________ derivada

f_1 (x)=x^5________________________________ 〖f´〗_1 (x)=〖5x〗^4
f_2 (x)=x^5+3 ____________________________ 〖f´〗_2 (x)=〖5x〗^4
f_3 (x)=x^5-8 ____________________________ 〖f´〗_3 (x)=〖5x〗^4
f_4 (x)=x^5+√7 ___________________________ 〖f´〗_4 (x)=〖5x〗^4


Función o derivada _____________________anti derivada

f(x)______________________________ F(x)

f(x)+g(x) ________________________ F(x)+G(x)

x^n (n≠1) _________________________ x^(n+1)/(n+1)

1/x _________________________________ ln⁡〖|x|〗

e^x_________________________________ e^x

cos⁡x ______________________________ sin⁡x

sin⁡x_______________________________ -cos⁡x〖sec〗^2 x _____________________________ tan⁡x

1/√(1-x^2 ) _____________________________ sin^(-1)⁡x

1/(1+x^2 ) ______________________________ tan^(-1)⁡x


Por ejemplo:

∫▒〖dx=x+c〗

∫▒〖(x+2) dx〗=

=∫▒〖x dx+2∫▒dx〗
=x^2/2+2x+c

∫▒〖(〖3x〗^4+〖5x〗^2+x) dx〗==3∫▒〖x^4+5∫▒〖x^2+∫▒x dx〗〗

=3(x^5/5)+5(x^3/3)+x^2/2+c

=3/5 x^5+5/3 x^3+1/2 x^2+c

∫▒1/x^5 dx= ∫▒x^(-5) dx

= x^(-4)/(-4)

=-1/4 x^(-4)

=-1/〖4x〗^(-4) +c

Ejercicios:

∫▒(3x^4-5x^2+x)dx
∫▒x^6 dx
∫▒(x+7)dx
∫▒〖(13-x)dx 〗∫▒〖(x^3+1)(x^2+3)dx 〗
∫▒〖(∛(x^2 ))dx 〗
∫▒〖(2/x^3 )dx 〗
∫▒〖x^(-2) (1-x^2+x^4 )dx〗
∫▒(√x)(x^2+x-3)dx
∫▒(x)(x^3+3)(x^2+5)dx


Significado geométrico de la constante de integración

Esta constante no es más que un movimiento de la función en el plano, también se dice q la constante representa la familia de funciones de esa ecuación q ha sido integrada.

Por ejemplo:
Donde c toma distintos valores:C=4

C=0

C=-2


Interpretación física de la constate de integración

Imagina q se lanza una piedra desde el segundo piso de un edificio y posteriormente se lanza otra piedra desde el quinto piso, de las dos alturas la piedra describe un mismo comportamiento al caer.

La constante de integración entra cuando se está jugando con las alturas, que no es más que un desplazamiento en eleje de las “y”, por consecuencia la distancia a la que llegara la piedra al caer al piso será mayor cuando la altura sea mayor.

Constante de integración con condiciones iniciales

Es evidente que no sabemos qué valor tomara la constante, al realizar el siguiente procedimiento con las operaciones correspondientes y necesarias sabremos el valor exacto de la constante de integración.
El valorinicial no es más que un punto donde se intersectan la derivada y la función original

Por ejemplo:

f ´(x)=x^2 En el punto (3,2)

∫▒〖(f ´(x))dx=∫▒x^2 〗 dx Integrando ambos lados

f(x)=1/3 x^3+c ó

y=1/3 x^3+c

Ya que se ha encontrado la función general, lo siguiente es simple sustitución. En este caso x=3 y y=2, estos valores serán sustituidos en la función general.

2=1/3〖(3)〗^3+c

2=1/3 (27)+c

2=27/3 +c

2=9+c

2-9=c

c=-7

Ahora solo se sustituye el valor de c en la función general y esa será la función original o función particular.

y=1/3 x^3-7

Ejemplo:

Encuentra la solución general de y ´=2

Solución:

Para comenzar se debe encontrar una función cuya derivada sea 2, o lo que es lo mismo que integrar ambos lados.

∫▒d/dx...