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UNIVERSIDAD DEL VALLE
´
DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS
´
TALLER No 8 de CALCULO I
Colectivo de Profesores de C´lculo I.
a

Abril 23 de 2012

Definici´n de derivada.
o
Sea f es una funci´n definida en un intervalo abierto I que contiene al n´mero
o
u
real a. Diremos que f es derivable en a, si el l´
ımite
lim

h→0

f (a + h) − f (a)
h

(1)

existe.

Observaci´n:
o
1. Si enla ecuaci´n (1) hacemos x = a + h, ´sta se convierte en
o
e
lim

x→a

f (x) − f (a)
.
x−a

(2)

De ahora en adelante usaremos indistintamente cualquiera de las ecuaciones (1) ´ (2) para el c´lculo de la derivada
o
a
de una funci´n f .
o
2. Si f es derivable en a, entonces el l´
ımite (1) ´ (2) se denomina la derivada de f en a y lo denotaremos por
o
cualquiera de lossiguientes s´
ımbolos
f ′ (a),

Df (a),

Da (f ),

df
dy
(a) ´
o
(a).
dx
dx

3. El n´mero f ′ (a) corresponde a la pendiente de la recta tangente a la gr´fica de la funci´n y = f (x) en el
u
a
o
punto P := (a, f (a)). (Recuerde, no se debe confundir el n´mero f ′ (a) con la recta tangente, son objetos muy
u
diferentes.)

Ejemplo 1. Decida si la funci´n f (x) =
o

√

x es ´ noderivable en el intervalo (0, ∞).
o

Soluci´n. Observe que en este caso nos preguntamos si el l´
o
ımite (1), existe para todo n´mero real x en el intervalo
u
(0, ∞), esto es, debemos decidir si
f (x + h) − f (x)
= lim
h→0
h→0
h
lim

√

x+h−
h

√

x

√
√
x+h− x
existe para todo x ∈ (0, ∞). Para ello efectuaremos algunas manipulaciones algebraicas en el cociente
h
de talforma que obtengamos una expresi´n equivalente en la cual eliminemos la h del denominador. (Esto no siempre
o
es posible, por ejemplo intente calcular la derivada de f (x) = x2/3 en x = 0.) Observe con atenci´n y justifique cada
o
paso.

√
√
x+h− x
h

=

√

x+h−
h

√
√
√
x
x+h+ x
·√
√
x+h+ x

=
=

f (x + h) − f (x)
= lim
h→0
h→0
h
lim

h
√
h · ( x + h + x)=
Luego,

x+h−x
√
√
h · ( x + h + x)

√

√

1
√
x+h+ x

√
√
1
x+h− x
1
√ ,
= lim √
√ =
h→0
h
2· x
x+h+ x

y por lo tanto para cada x ∈ (0, ∞) tenemos que f ′ (x) existe y en consecuencia la funci´n f (x) =
o
(0, ∞).

√
x es derivable en

Ejercicio 1. Esboce la gr´fica de una funci´n continua f que satisfaga f (0) = 0, f ′ (0) = 3 = f ′ (−2), f ′ (1) = 0 =
a
of ′ (−1) y f ′ (2) = −1.

Ejercicio 2. A continuaci´n se da la gr´fica de una funci´n f .
o
a
o
1. Determine una expresi´n para la funci´n y dibuje la gr´fica de su derivada.
o
o
a
2. ¿Est´ definida la funci´n derivada en los puntos x = −2 y x = 2?
a
o
3. De acuerdo con su respuesta, ¿c´mo cree usted que se refleja la existencia de la derivada de una funci´n en un
o
o
punto, con lagr´fica de la funci´n alrededor de ese punto?
a
o
y
y = f (x)

x

(2, −3)

Ejercicio 3. La gr´fica que se da a continuaci´n corresponde a la gr´fica de la funci´n derivada de una funci´n continua
a
o
a
o
o
f . Obtenga informaci´n de ella para graficar la funci´n f .
o
o
y

y = f ′ (x)

(1, 0)

2

x

Rectas Tangente y Normal a la gr´fica de una funci´n
a
o
Si f esderivable en a, entonces la ecuaci´n de la recta tangente a la gr´fica de
o
a
la funci´n y = f (x) en el punto P := (a, f (a)), est´ dada por
o
a
y − f (a) = f ′ (a)(x − a)

(3)

Por lo tanto la recta normal a la gr´fica de f en el punto de coordenadas (a, f (a))
a
−1
tiene pendiente ′
y ecuaci´n
o
f (a)
y − f (a) =

−1
(x − a).
f ′ (a)

(4)

Ejemplo 2. Sea g una funci´ndiferenciable en toda la recta real. Si g(5) = −3 y g ′ (5) = 4, encuentre las ecuaciobnes
o
de las rectas tangente ℓ y normal ℓ′ a la gr´fica de y = g(x) en el punto P := (5, −3).
a
Soluci´n. Por (3), la ecuaci´n de la recta ℓ est´ dada por la expresi´n
o
o
a
o
y = g(5) + g ′ (5)(x − 5), esto es: 4x − y − 23 = 0
de otro lado, por (4) la ecuaci´n de la recta ℓ′ est´ dada por la expresi´n
o
a
o...