Mios
Páginas: 5 (1048 palabras)
Publicado: 25 de febrero de 2013
REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA Y SANITARIA
MATEMÁTICAS APLICADAS A INGENIERÍA CIVIL
J. Flórez Plaza
I. Flórez López
MÉRIDA
Octubre, 2010
A mi hija, mi mayor orgullo.
A mis tres enanos:
Diego, Julia y Roberto
ÍNDICE
Página
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………..1
CAPÍTULO I: ELEMENTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
1.1 Campos Escalares …………………………………………………………….
2
1.2 Derivada Direccional …………………….…………………………………..
3
1.3 Gradiente de un Campo Escalar ………………………………………………
3
1.4 Aplicaciones Geométricas del Concepto de Gradiente ………………… ........
6
1.5 Campos Vectoriales y Líneas de Campo …. ………………………………….
10
1.6 Divergencia y Laplaciana…………………………………………………….
10
1.7 Rotacional ……………………………………………………………………
12
1.8 Relaciones de Interés …………………………………………………………
13
1.9 Circulación de un Campo Vectorial ………………………………………….
14
1.10 Campos Conservativos ………………………………………………………
16
1.11 Flujo de un Campo Vectorial a Través de un Tro zo de Superficie ………….
21
1.12 Aplicaciones Geométricas del Concepto de Flujo………………………......
23
1.12.1 Área de una Superficie ………………………………………………
23
1.12.2 Momento de Inercia de un Trozo de Superficie Respecto a un Plano
24
1.12.3 Momento de Inercia de un Trozo de Superficie Respecto a una Recta
26
1.12.4 Coordenadas del Centro de Gravedad de una Superficie …………….
28
1.13 Estudio del Caso Particular de una Superficie Dada en Forma Paramétrica …
28
1.14Fórmula de Rieman o de Green ………………………………………………
32
1.15 Teorema de Stokes …………………………………………………………..
34
1.16 Teorema de Gauss o de Ostrogradski ………………………………………..
37
1.17 Campos Newtonianos ………………………………………………………..
38
1.18 Interpretación Física de la Divergencia ………………………………………
40
1.19 Interpretación Física del Rotacional ………………………………………….
41
1.20 ProblemasResueltos ………………………………………………………….
42
1.21 Problemas Propuestos …………………………………………………………
64
CAPÍTULO II: CÁLCULO MATRICIAL
2.1 Definición ………………………………………………………………………
74
2.2 Transformaciones Lineales …………………………………………………….
74
2.3 Algunas Definiciones y Conceptos …………………………………………….
78
2.4 Operaciones con Matrices ………………………….…………………………..
80
2.4.1 Producto de una Matriz porun Número ……………………………….
81
2.4.2 Suma de Dos Matrices de la Misma Dimensión ……………………….
81
2.4.3 Producto de Dos Matrices ……………………………………………..
82
2.4.4 Matriz Inversa ………………………………………………………….
84
2.4.5 Cálculo de la Matriz Inversa …………………………………………...
86
2.4.5.1 Método de los Adjuntos ………………………………………..
86
2.4.5.2 Método de las Transformaciones Elementales …………………88
2.4.5.3 Método de las Particiones ………………………………………
91
2.5 Matrices Ortogonales …………………………………………………………..
94
2.6 Rango o Característica de una Matriz ………………………………………….
98
2.7 Solución y Discusión de un Sistema de Ecuaciones Lineales ………………….
99
2.8 Valores y Vectores Propios …………………………………………………….
103
2.9 Caso Particular de las Matrices Simétricas ……………………………………...106
2.10 Diagonalización de una Matriz ………………………………………………..
108
2.11 Potencia de una Matriz ………………………………………………………..
110
2.12 Solución Matricial de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales de
Coeficientes Constantes ……………………………………………………….
112
2.13 Teorema de Cayley – Hamilton ……………………………………………….
115
2.14 Problemas Resueltos …………………………………………………………..
1332.15 Problemas Propuestos …………………………………………………………
145
CAPÍTULO III: ELEMENTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO
3.1 Introducción ……………………………………………………………………
155
3.2 Diferencias Finitas ……………………………………………………………..
155
3.2.1 Diferencias Divididas ………………………………………………….
155
3.2.2 Diferencias Progresivas ………………………………………………..
157
3.2.3 Antidiferencias …………………………………………………………...
UNIVERSIDAD DE LOS ANDES
FACULTAD DE INGENIERÍA
ESCUELA DE INGENIERÍA CIVIL
DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA Y SANITARIA
MATEMÁTICAS APLICADAS A INGENIERÍA CIVIL
J. Flórez Plaza
I. Flórez López
MÉRIDA
Octubre, 2010
A mi hija, mi mayor orgullo.
A mis tres enanos:
Diego, Julia y Roberto
ÍNDICE
Página
INTRODUCCIÓN………………………………………………………………..1
CAPÍTULO I: ELEMENTOS DE CÁLCULO VECTORIAL
1.1 Campos Escalares …………………………………………………………….
2
1.2 Derivada Direccional …………………….…………………………………..
3
1.3 Gradiente de un Campo Escalar ………………………………………………
3
1.4 Aplicaciones Geométricas del Concepto de Gradiente ………………… ........
6
1.5 Campos Vectoriales y Líneas de Campo …. ………………………………….
10
1.6 Divergencia y Laplaciana…………………………………………………….
10
1.7 Rotacional ……………………………………………………………………
12
1.8 Relaciones de Interés …………………………………………………………
13
1.9 Circulación de un Campo Vectorial ………………………………………….
14
1.10 Campos Conservativos ………………………………………………………
16
1.11 Flujo de un Campo Vectorial a Través de un Tro zo de Superficie ………….
21
1.12 Aplicaciones Geométricas del Concepto de Flujo………………………......
23
1.12.1 Área de una Superficie ………………………………………………
23
1.12.2 Momento de Inercia de un Trozo de Superficie Respecto a un Plano
24
1.12.3 Momento de Inercia de un Trozo de Superficie Respecto a una Recta
26
1.12.4 Coordenadas del Centro de Gravedad de una Superficie …………….
28
1.13 Estudio del Caso Particular de una Superficie Dada en Forma Paramétrica …
28
1.14Fórmula de Rieman o de Green ………………………………………………
32
1.15 Teorema de Stokes …………………………………………………………..
34
1.16 Teorema de Gauss o de Ostrogradski ………………………………………..
37
1.17 Campos Newtonianos ………………………………………………………..
38
1.18 Interpretación Física de la Divergencia ………………………………………
40
1.19 Interpretación Física del Rotacional ………………………………………….
41
1.20 ProblemasResueltos ………………………………………………………….
42
1.21 Problemas Propuestos …………………………………………………………
64
CAPÍTULO II: CÁLCULO MATRICIAL
2.1 Definición ………………………………………………………………………
74
2.2 Transformaciones Lineales …………………………………………………….
74
2.3 Algunas Definiciones y Conceptos …………………………………………….
78
2.4 Operaciones con Matrices ………………………….…………………………..
80
2.4.1 Producto de una Matriz porun Número ……………………………….
81
2.4.2 Suma de Dos Matrices de la Misma Dimensión ……………………….
81
2.4.3 Producto de Dos Matrices ……………………………………………..
82
2.4.4 Matriz Inversa ………………………………………………………….
84
2.4.5 Cálculo de la Matriz Inversa …………………………………………...
86
2.4.5.1 Método de los Adjuntos ………………………………………..
86
2.4.5.2 Método de las Transformaciones Elementales …………………88
2.4.5.3 Método de las Particiones ………………………………………
91
2.5 Matrices Ortogonales …………………………………………………………..
94
2.6 Rango o Característica de una Matriz ………………………………………….
98
2.7 Solución y Discusión de un Sistema de Ecuaciones Lineales ………………….
99
2.8 Valores y Vectores Propios …………………………………………………….
103
2.9 Caso Particular de las Matrices Simétricas ……………………………………...106
2.10 Diagonalización de una Matriz ………………………………………………..
108
2.11 Potencia de una Matriz ………………………………………………………..
110
2.12 Solución Matricial de un Sistema de Ecuaciones Diferenciales Lineales de
Coeficientes Constantes ……………………………………………………….
112
2.13 Teorema de Cayley – Hamilton ……………………………………………….
115
2.14 Problemas Resueltos …………………………………………………………..
1332.15 Problemas Propuestos …………………………………………………………
145
CAPÍTULO III: ELEMENTOS DE CÁLCULO NUMÉRICO
3.1 Introducción ……………………………………………………………………
155
3.2 Diferencias Finitas ……………………………………………………………..
155
3.2.1 Diferencias Divididas ………………………………………………….
155
3.2.2 Diferencias Progresivas ………………………………………………..
157
3.2.3 Antidiferencias …………………………………………………………...
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