MJOJ

1.2 Operaciones fundamentales con números complejos.

Varias propiedades de la suma y del producto de números complejos coinciden con las de los números reales.
Las leyes conmitativas
z1 + z2=z2 + z1,    z1z2 = z2z1  
y las asociativas
(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3),    (z1z2)z3 = z1(z2z3)                                                                                                                   
Se siguen fácilmente de las definiciones de la suma y el producto de números complejos, y del hecho de que los números reales las satisfacen. Por ejemplo, si
z1 = (x1, y1)   y  z2 = (x2, y2),
entonces
z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) = (x2 + x1, y2 + y1) = (x2, y2) + (x1, y1) = z2 + z1
La verificación de las restantes, así como de la ley distributivaz(z1 + z2) = zz1 + zz2,                                                                                                                             Es similar.
De acuerdo con la ley conmutativa delproducto, iy = yi; luego está permitido escribir
z = x + iy   o   z = x + yi
Además, por las leyes asociativas, una suma z1 + z2 + z3 o un producto z1z2z3 están bien definidos sin paréntesis, igual queocurría con los números reales.
La identidad aditiva 0 = (0, 0) y la identidad multiplicativa 1 = (1, 0) de los números reales se transfieren al sistema de los números complejos. O sea,
z + 0 = z   y  z * 1 = z                                                                                                                                
Para todo número complejo z. Más aún, 0 y 1 son los únicosnúmeros complejos con tales propiedades. Para establecer la unicidad de 0, supongamos que (u, v) es una identidad aditiva, y escribamos
(x, y) + (u, v) = (x, y),
Donde (x, y) es cualquier númerocomplejo. Se deduce que
x + u = x   e   y + v = y;
o sea, u = 0 y v = 0. El número complejo 0 = (0, 0) es, por tanto, la única identidad aditiva.
Cada número complejo z = (x, y) tiene asociado un...