modelado y control

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MODELADO Y CONTROL

UNIDAD II. ANÁLISIS DE RESPUESTA TRANSITORIA
II.1. Respuesta temporal de los sistemas de primer y segundo orden.
Una forma de analizar y/o diseñar sistemas de primer o segundo orden es a través del
estudio de los tipos de respuestas de éstos.
Sistemas de Primer Orden: Se caracterizan principalmente por tener un elemento capaz
de almacenar energía.
Sea Gs  1
y xt   u 0 t  , obtener a y (t).
s  1

1
s  1

x( t)

Y s  

A  Y s   s

s 0

y( t)

1
A
B
 
ss  1 s s  1

 1 ; B  Y s   s  1
Y s  

s 

1

 



1


s s  1

yt   u 0 t   e



t



u 0 t 

t



Por lo que su respuesta al escalón será: yt   1  e


1
Pendiente inicial =

u 0 t 






t
Figura II.1. Respuesta al escalón de un sistema de primer orden.

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Tiempo y(t)
0.632

0.865
2
0.95
3
0.982
4
0.993
5
Tabla II.1. Valores de la respuesta al escalón de un sistema de primer orden en cada
constante de tiempo.
t

d
1 
yt   ht   e  u 0 t 
dt
Sistemas de 2do. Orden. Se caracterizan principalmente por tener dos elemento capaces
de almacenar energía.
n2
Y s 
Gs  
 2
X s  s  2 n s   n 2

Y su respuesta al impulso:

donde ; = relación de amortiguamiento,
 n = frecuencia natural.
Empleando la fórmula General para obtener las raíces de la ecuación característica:
2
s 2  2 n s   n  0
s

2
2
 2  n  42 n  4 n

2
s   n   j n 1   2    j d
En la Figura II.2 se presenta la ubicación de las raíces de la ecuación característica, la
frecuencia natural y frecuencia amortiguada en el plano s,
j

j d

n

Plano s

    n





 j d

Figura II.2. Ubicación de las raíces complejas y conjugadas de un sistema de segundo
orden en el plano s.
donde:   sen1

1    cos   tan
2

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1

1

1  2



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Figura II.3. Curvas de respuesta al escalón de sistemas de segundo orden.
Se observa que cuando: ζ = 0; No amortiguado
0 < ζ < 1; Subamortiguado
ζ = 1; Críticamente amortiguada.
ζ > 1; Sobreamortiguado.
Si xt   u 0 t  , su respuesta al escalón del sistema desegundo orden será:
Y s  

2
n
2
ss 2  2 n s   n 

Antitransformando para cada caso:
1.Caso no amortiguado ζ=0; c(t)=1-cos(nt)

Figura II.4. Ubicación de las raíces en el plano s y su respectiva respuesta al escalón de
sistemas de segundo orden no amortiguado.

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2.Caso subamortiguado 0 < ζ < 1;

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ct  1 

e nt
1 

2



sen n 1   2 t  



o bien:

c(t )  1  ae ot sin(d t   )

Figura II.5. Ubicación de las raíces en el plano s y su respectiva respuesta al escalón de
sistemas de segundo orden subamortiguado.
3.Caso críticamente amortiguado ζ = 1; c(t )  1  e t [1   n t ]

Figura II.6. Ubicación de las raíces en el plano s y su respectiva respuestaal escalón de
sistemas de segundo orden críticamente amortiguado.

 e  2t e  1t 

4.Caso sobreamortiguado ζ > 1; c(t )  1  b 

2
1 


Figura II.7. Ubicación de las raíces en el plano s y su respectiva respuesta al escalón de
sistemas de segundo orden sobreamortiguado.
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En la respuesta al escalón dela figura II.8 se encuentran los siguientes parámetros:

Mp

Figura II.8. Respuesta al escalón de un sistema de segundo orden subamortiguado.
M p  y t p   y   e
Ta 

Ta 

Tp 

Tl 

Tl 

4

 n
3

 n







4

Máximo sobreimpulso o sobrepico (sobreelongación)
Tiempo de Asentamiento (±2%)


3

Tiempo de Asentamiento (±5%)




n 1  ...