Modelo de ising - fisica estadistica

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0.0.1. El modelo de Ising uni-dimensional: solución exacta. Consideremos primero una cadena de longitud N con extremos libres y en ausencia de un campo magnético externo (h = 0):
N 1 X

(1)

H=J

i i+1 :

hi=1i

La función de partición toma entonces la forma X X 8 < :
N 1 X

(2)

ZN =

exp

J

i

1= 1

N= 1

hi=1i

El último espín aparece sólo una vez en la sumaen la exponencial, luego independientemente del valor de N 1 (3) X e
J
N 1 N

9 = i+1 : ;

= 2 cosh J:

N= 1

De aquí deducimos la relación (4) ZN = [2 cosh J] ZN
1:

Si repetimos elproceso obtenemos (5) donde Z2 =
1= 1

En consecuencia, (6)

P

2= 1

P

ZN = (2 cosh J)N e
J
1 2

2

Z2 ;

= 2 cosh J = 4 cosh J.

ZN = 2 (2 cosh J)N

1

:

Luego, la energíalibre es dada por (7) G = kB T ln ZN = kB T [ln 2 + (N

1) ln(2 cosh J)]

Ahora bien, en el límite termodinámico sólo el término proporcional a N es importante, de modo que (8) G= N kB T ln(2 coshJ):
1

2

Consideremos el caso con campo magnético externo. El Hamiltoniano de Ising correspondiente toma ahora la forma: X
hi ji N X i=1

(9)

H=

J

i j

h

i:

Aparte de susimpleza y enfoque clásico, la función de partición con el Hamiltoniano de Ising puede ser calculada analíticamente en forma exacta sólo en una dimensión, o en dos dimensiones pero con h = 0. Paraevaluar la función de partición en una dimensión consideraremos condiciones de borde periódicas, es decir i + N = i. La función de partición es luego X X ( "
N X i=1

(10)

ZN =

exp

J

i

1=1

N= 1

h i+1 + ( 2

i

+

i+1 )

#):

Notar el factor 1=2 en el segundo término de la exponencial que evita contar dos veces el mismo sitio. La …gura siguiente muestra una con…guraciónparticular de la cadena uni-dimensional con condiciones de borde periódicas. Es conveniente ahora introducir la matriz de transferencia (11) P= P11 P1 1 P 11 P 1 1 Donde (12) P P P11 = e
1 1 11...
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