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APÉNDICE A

Modelo de crecimiento logístico
En el modelo de crecimiento logístico (o de Verhulst) explica que a mayor población, P,
menor tasa de crecimiento (Lomelí y Rumbos, 2003).Inicialmente, la población crece
rápido, por lo que es una fuente de presión constante, y pierde su capacidad de crecer al
volverse muy numerosa, debido a interacciones entre los miembros de la población, loque
da como resultado un estado de equilibrio.
A diferencia del modelo de crecimiento exponencial, donde la población siembre crece,
este modelo se apega más a la realidad para calcular la poblaciónde cada entidad
federativa. Si bien cada año esta aumenta lo hace a partir de tasas decrecientes. Sólo en
algunos estados la población crece a tasas crecientes.
La aplicación de este modelo se basóen las diapositivas del curso Demografía AT230.
Del Departamento de Actuaría y Matemáticas de la UDLAP, impartido por el profesor José
Raúl Castro Esparza durante el periodo escolar otoño 2009.
dP(t )
= r * P (t ) − b * ( P (T )) 2
dt

donde

P(t 0 ) = P0

(A.1)

En la práctica demográfica suele re-definirse la expresión anterior mediante:
b=

r
a

con a constante.

dP (t )⎡ P (t ) ⎤
= rP (t ) ⎢1 −
dt
a ⎥
⎣
⎦

La solución a esta nueva ecuación diferencial es: P (t ) =

(A.2)
a
1+ e

− r ( t −t m )

;

lim P(t ) = a
t →∞

El límite anterior muestralo que observamos en el gráfico de crecimiento logístico, se
llega a una constante. Para aplicar la solución P(t) necesitamos calcular a y er de la siguiente
manera, supongamos que P1, P2 y P3conforman la población de un lugar en tiempos
equidistantes

1
1
2
+
−
P P3 P2
a= 1
1
1
− 2
P1 P3 P2

P1 p P2 p P3

(A.3)

∆P (t )
∆t
r≈
⎡ P (t , t + ∆t ) ⎤
Pmedia (t , t + ∆t ) ⎢1 −media
⎥
a
⎣
⎦

(A.4)

Para obtener tm, la despejamos de la solución y nos queda t m =

1 ⎛ a − p(t ) ⎞
⎟
Ln⎜
r ⎜ p(t )e −rt ⎟
⎠
⎝

.

Consideremos que la aplicación de esta...