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ESCUELA DE VERANO 2009 - MATEMÁTICAS II
Profesores:

Raúl Uribe, Pierre Paul Romagnoli, Leonardo Sánchez, José Zamora.

GUÍA # 4 : Límites y Derivadas
Límites
P1.-

Realizar el gráco de la siguiente función:
f (x) = 2−x 1 si x ≤ 0 si x > 0

Con la ayuda del gráco, determinar el valor de los siguientes límites (si es que existen): (i) l´m− f (x) ı (ii) l´m+ f (x) ı (iii) l´m f (x) ıx→0
P2.-

x→0 x→0

Realizar el gráco de la siguiente función:
f (x) = ex x+1 si x ≥ 0 si x < 0

Con la ayuda del gráco, determinar el valor de los siguientes límites (si es que existen): (i) l´m− f (x) ı (ii) l´m+ f (x) ı (iii) l´m f (x) ı
x→0
P3.-

x→0 x→0

π Considere la función g(x) = sin( 2x ) (i) Evalúe g en los siguientes valores: x = 1, x = 0,5, x = 0,1, x = 0,01 (ii) ¾Sepuede armar que l´m g(x) = 0 ?. Justique su respuesta. Encuentre un número α ı

menor que los dados en el punto anterior tal que g(α) = 1. (iii) Si se ja un número cualquiera (digamos δ), ¾se pueden encontrar dos números β y γ, más cerca de 0, es decir 0 < β < γ < δ, tal que g(β) = 0 y g(γ) = 1?.
P4.-

x→0

Encuentre el valor de: (i) l´m cos x ı
x→0

x2 − 1 (ii) l´m ı x→1 x − 1 (3 +x)2 − 9 (iii) l´m ı x→0 x
P5.-

Encuentre el valor de: (i) l´m x2 + 5x − 9 ı (ii) l´m x2 − 50x + 25 ı
x→5 x→0

(iii) l´m ex (x + 2) ı
x→0

ex−5 + 25 x→0 5 sin x (v) l´m ı x→∞ x ln(x + e) sin(x + π ) 2 (vi) l´m ı x→0 ex

(iv) l´m ı

P6.-

Encuentre el valor de los siguientes límites (si es que existen): 3 x2 − 9 (i) l´m ı x→3 x−3 x2 − 4x + 3 (ii) l´m ı x→3 √ x − 3 3h2 (iii) l´m ı h→0√ h √ 2+h− 2 (iv) l´m ı h→0 h x (v) l´m √ ı x→0 x + 4 − 2 x2 − 4x + 4 (vi) l´m ı x→2 x2 − 4 2 +x+1 x (vii) l´m 2 ı x→∞ x − 1 x+2 (viii) l´m 2 ı x→−∞ x + 2x + 3 x3 (ix) l´m ı x→∞ −x + 1 2x + 1 (x) l´m ı x→−∞ x − 3

Derivadas

P7.-

Calcule mediante la denición la derivada de las siguientes funciones: (i) f (x) = 4x − 3 (ii) h(z) = z2 + 2 (iii) f (x) = 2x2 + 3x (iv) g(y) = 3 cos y. sin xIndicación: utilice que l´m ı =1 x→0 x Derive directamente las siguientes funciones: (i) f1 (x) = 5x3 − 2x (ii) f2 (t) = 7t 5 + sint − 8 (iii) f3 (y) = 3 ln y − 7ey + 3y18 (iv) f4 (x) = 2 sin x + 4 cos x (v) f5 (x) = ex ln x (vi) f6 (x) = (x2 + 3x) sin(x3 ) cos x (vii) f7 (x) = x e − 5x

P8.-

(viii) f8 (x) = tan(x) ln(x2 )(x3 + 1) (ix) f9 (x) = (cos(xn ))n + (sin(xk ))k (x) f10 (x) = exp( x12 +ax), donde a > 0
P9.-

Encuentre a y b para que f sea derivable en todo R y calcule la derivada:
f (x) = x2 + x + 1 ax + b si x ≤ 0 si x > 0

¾Es f (x) continua en R? ¾Es derivable f (x)?
P10.-

Encuentre a y b para que f sea derivable en todo R y calcule la derivada:
f (x) = (x + 1)2 −x2 + ax + b si x ≤ 0 si x > 0

¾Es f (x) continua en R? ¾Es derivable f (x)?
P11.P12.P13.-

Deduzcala ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 − 8x + 9 en el punto (3, −6) Deduzca la ecuación de la recta tangente al gráco de la función f (x) = ln x + x3 Considere un móvil que se mueve sobre una linea recta, donde la distancia (en metros) al origen está dada por la función x(t) = t 4 + et − 5, donde t representa el tiempo medido en segundos. Utilzando que la derivada de la funciónx(t) representa la velocidad del móvil, encuentre la velocidad de éste en el instante t = 0,002s. Para la función g(x) = 1 x3 − 2x2 + 17 , encuentre el dominio, asíntotas, puntos críticos, zonas 3 3 de crecimiento, zonas de decrecimiento y graque.
1 Para la función h(x) = x + 2 + x−2 , encuentre el dominio, asíntotas, puntos críticos, zonas de crecimiento, zonas de decrecimiento y graque. x +2Para la función s(x) = 1−x2 , encuentre el dominio, asíntotas, puntos críticos, zonas de crecimiento, zonas de decrecimiento y graque.
2

P14.-

P15.-

P16.-

P17.-

Se desea hacer una ventana rectangular cuyo borde superior sea semicircular. Sólo se dispone de 7 metros del material necesario para el marco. El objetivo de este problema es encontrar el ancho del marco que maximiza el...
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