Moore El Origen De La Democracia Y La Dictadura

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILE
FACULTAD DE MATEMATICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Segundo semestre 2011.

MAT 1600 * Una Soluci´n de la Interrogaci´n N◦ 2
o
o

1. Considere las funciones f (x) = log 1 (2x3 − x2 + 4x − 2) y g (x) = log 1 (2x2 + 5x − 3)
3

3

a ) Encuentre el Domf
Soluci´n:
o
x ∈Domf si y s´lo si 2x3 − x2 + 4x − 2 > 0 , pero 2x3 − x2 + 4x − 2 = 2(x − 1)(x2 + 2)
o
2
(el alumno debe justificar la busqueda de ra´ del polinomio p(x) = 2x3 −x2 +4x−2)
ıces
Por lo que x ∈Domf si y s´lo si x > 1 .
o
2

b ) Resuelva en los reales la ecuaci´n f (x) = g (x)
o
Soluci´n:
o
Si x es una soluci´n de la ecuaci´n f (x) = g (x) , entonces x ∈Domf ∩Domg .
o
o
Domg = { x/ 2x2 + 5x − 3 = (2x − 1)(x + 3) > 0} =] − ∞, −3[∪]1/2, ∞[
Por lo que x ∈ Domf∩Domg ←→ x > 1/2.
Ahora resolvamos la ecuaci´n f (x) = g (x). Como la funci´n log1/3 es inyectiva,
o
o
entonces
1
1
f (x) = g (x) ←→ 2x3 −x2 +4x−2 = 2x2 +5x−3 ←→ 2(x− )(x2 +2) = 2(x− )(x+3)
2
2
y como x > 1/2 −→ x2 + 2 = x + 3 ←→ x2 − x − 1 = 0 ←→ (x − x0 )(x − x1 ) = 0
√
√
1− 5
1+ 5
donde x0 =
< 0 , x1 =
> 1/2
2
2
Luego la ecuaci´n f (x) = g (x) tiene unica soluci´n, a saber : x1 .o
´
o

c ) Encuentre todos los x ∈ Domg , tal que g (x) < −2
Soluci´n:
o
g (x) < −2 ←→ log 1 (2x2 + 5x − 3) < −2 ←→ 2x2 + 5x − 3 >
3

1
3

−2

(el alumno debe justificar estas equivalencias)
Es decir : g (x) < −2 ←→ 2x2 + 5x − 3 > 9 ←→ 2x2 + 5x − 12 = 2(x − 3 )(x + 4) > 0
2
3
Pero 2(x − 2 )(x + 4) > 0 ←→ x < −4 o x > 3/2

y como las soluciones deben estar en el Domg ,entonces
g (x) < −2 ←→ x < −4 o x > 3/2
(el alumno debe verificar que las soluciones de la inecuaci´n pertenecen al
o
Domg =] − ∞, −3 [∪] 1/2, ∞[ )

2.

a ) Encuentre un polinomio p(x), con coeficientes en los reales, de grado 4 y tal que
p(0) = p(1 + i) = 0 , p(1) = 6 y p(−i) = −p(i) . Justifique.
Soluci´n:
o
Sea p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e
Como p(0) = 0 entonces e = 0.
Adem´s, si p(1 +i) = 0 −→ p(1 − i) = 0 y por tanto
a
p(x) = x(x − (1 + i))(x − (1 − i))m(x) = x(x2 − 2x + 2)m(x) = (x3 − 2x2 + 2x)m(x)
Al dividir p(x) por x3 − 2x2 + 2x se obtiene que m(x) = ax + (b + 2a)
es decir
p(x) = (x3 − 2x2 + 2x)(ax + b + 2a)
Como p(1) = 6 , entonces p(1) = a + b + 2a = 3a + b = 6
ahora considerando que p(−i) = −p(i) , en esa misma ecuaci´n se obtiene
o
3a + 2b = 0 de donde a = 4, b = −6 por lo que m(x) = 4x + 2
( Observe que:
Si p(x) = ax4 + bx3 + cx2 + dx −→ p(−i) = −p(i) −→ a = c y p(1) = 6 −→ a = d)

y finalmente

p(x) = x(x2 − 2x + 2)(4x + 2)
= 4x4 − 6x3 + 4x2 + 4x

π
π
b ) Si z = cos( π ) + i sen( π ) y w = sen( 10 ) − i cos( 10 ) , pruebe que
5
5

1 − z = 2 Re(w) w
Soluci´n:
o
1 − z = 1 − cos( π ) − i sen( π ) = 1 − cos( π ) − i sen( π )
5
5
55
Usando que sen2 ( α ) =
2

1 − cos(α)
←→ 1 − cos(α) = 2 sen2 ( α ) y tomando α =
2
2

π
5

se tiene que
π
π
π
π
π
π
1 − z = 2 sen2 ( 10 ) − i sen( π ) = 2 sen2 ( 10 ) − i sen(2 10 ) = 2 sen2 ( 10 ) − 2i sen( 10 ) cos( 10 )
5

Es decir:
π
π
π
π
π
π
1 − z = 2 sen2 ( 10 ) − 2i sen( 10 ) cos( 10 ) = 2 sen( 10 ) sen( 10 ) − i cos( 10 ) = 2 Re(w) w

3.

√
a ) Sea f(x) = sen(x) + 3 cos(x) . Grafique en un per´
ıodo completo la funci´n f indio
cando el per´
ıodo y su recorrido . Justifique.
Soluci´n:
o
Observe que
f (x) = sen(x) +

√

√
1
3
3 cos(x) = 2 sen(x) +
cos(x)
2
2

(se debe justificar este paso)

π
π
= 2 cos( ) sen(x) + sen( ) cos(x)
3
3
= 2 sen(x +

π
)
3

Por lo que el per´
ıodo de f es T = 2π y el recorrido es [−2, 2]π
π
Adem´s f completa su ciclo en el intervalo [ − , − + 2π ]
a
3
3
(el alumno debe justificar este resultado)

2

π/3+Τ
−π/3

−2

otra forma:
f (x) = sen(x) +

√

√
1
3
3 cos(x) = 2 sen(x) +
cos(x)
2
2

(se debe justificar este paso)

π
π
= 2 sen( ) sen(x) + cos( ) cos(x)
6
6
= 2 cos(x −

π
)
6

Por lo que el per´
ıodo de f es 2π y el recorrido es...