MOVIMIENTO EN UNA Y DOS DIMENSIONES

Cap. 3 Movimiento en dos Dimensiones

CAPITULO 3. MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.
En general e1 movimiento de los objetos verdaderos se realiza en el espacio
real tridimensional. E1 movimiento de una partícula que se realiza en un plano
es un movimiento en dos dimensiones, si el movimiento se realiza en el espacio, se produce en tres dimensiones. En este capítulo se estudia la cinemática
de unapartícula que se mueve sobre un plano. Ejemplos de un movimiento en
dos dimensiones son el de un cuerpo que se lanza al aire, tal como una pelota,
un disco girando, el salto de un canguro, el movimiento de planetas y satélites,
etc. El movimiento de los objetos que giran en una órbita cuya trayectoria es
una circunferencia, se conoce como movimiento circunferencial; es un caso de
movimiento en dosdimensiones, que también es estudiado en este capítulo. El
vuelo de una mosca, el de un avión o el movimiento de las nubes se produce
en tres dimensiones.

3.1 DESCRIPCIÓN DEL MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES.
Continuamos restringiendo el estudio del movimiento al caso de una partícula
que se mueve con aceleración constante, es decir que su magnitud y dirección no cambian durante el movimiento. E1vector posición de una partícula
que se mueve en el plano xy es una función del tiempo, se escribe como:
r
r (t ) = x(t )iˆ + y (t ) ˆj

Por definición, la velocidad de la partícula en movimiento en el plano xy es, el
cambio de posición en el transcurso del tiempo y se puede determinar por:

r
r dr dx ˆ dy ˆ
v=
j = v x iˆ + v y ˆj
= i+
dt dt
dt
es decir,
r
v ( t ) = v x ( t )ˆi + v y ( t ) ˆj
75Cap. 3 Movimiento en dos Dimensiones

donde vx y vy son las componentes de la velocidad en la dirección x e y. Si la
aceleración es constante, sus componentes ax en la dirección x, y ay en la dirección y, también lo son. Aplicando las ecuaciones cinemáticas de la velocidad deducidas para el movimiento en una dimensión, independientemente en
cada dirección x e y, para una partícula que en el instanteinicial to se mueve
r
r
r
con velocidad inicial v o = v ox iˆ + v oy ˆj se obtienen las componentes de la
velocidad en función del tiempo:

v x = vox + a x ( t − to )
v y = voy + a y ( t − to )

r
reemplazando en la expresión de v ( t ) , se obtiene la velocidad en cualquier
instante t:

[

]

r
v (t ) = [vox + a x (t − t o )]iˆ + v oy + a y (t − t o ) ˆj
r
v (t ) = (v ox iˆ + v oy ˆj ) + (a x iˆ+ a y ˆj )(t − t o )

r
r r
v ( t ) = vo + a( t − to )

(3.1)

De manera similar reemplazando las expresiones de la posición en función del
tiempo en cada dirección x e y, para una partícula que en el instante inicial to
r
r
se encuentra en la posición inicial ro = x o iˆ + y o ˆj se obtiene la posición r ( t )
de la partícula, en cualquier instante t:

x = x o + v ox (t − t o ) +

76

1
a x (t −t o ) 2
2

Cap. 3 Movimiento en dos Dimensiones

1
y = y o + voy (t − t o ) + a y (t − t o ) 2
2
1r
r
r r
r (t ) = ro + vo (t − t o ) + a (t − t o ) 2
2

(3.2)

Se concluye que el movimiento bidimensional con aceleración constante es
equivalente a dos movimientos independientes en las direcciones x e y con
aceleraciones constantes ax y ay. A esta propiedad se le llama principio de independenciadel movimiento.

3.2 MOVIMIENTO DE PROYECTILES.

r
Cualquier objeto que sea lanzado en el aire con una velocidad inicial vo de
dirección arbitraria, se mueve describiendo una trayectoria curva en un plano.
Si para esta forma común de movimiento se supone que: a) la aceleración de
gravedad es constante en todo el movimiento (aproximación válida para el caso en que el desplazamiento horizontal delcuerpo en movimiento sea pequeño
comparado con el radio de la Tierra) y b) se desprecia el efecto de las moléculas de aire sobre el cuerpo (aproximación no muy buena para el caso en que la
rapidez del cuerpo en movimiento sea alta), entonces a este tipo de movimiento se le llama movimiento de proyectil y se produce en dos dimensiones.
Se elige el sistema de coordenadas (x, y) tradicional como se...