Movimiento Relativo

Movimiento Relativo
Consideremos un sistema inercial S. El vector posición
de una partícula respecto a S es R .
x
Queremos describir el movimiento de la partícula
relativo a un sistema S’ que se mueve respecto a S.
La posición de la partícula en S’ está dada por R ′
x

Velocidad relativa constante
En este caso, el origen de S’ se mueve respecto a S con
velocidad R , constante.
u
S’S

R’
x
R
ut
R
x

Transformación de Galileo:
x
R ′ = R − R t , t′ = t
x u
Velocidad:
R
v

′=

dx ′
R
dx
R
,R =
v
dt ′
dt
1

Suma de velocidades de Galileo:
R ′ =R − R
v
v u

Aceleración:

R ′=
a

R
dv
R
dv ′
,R =
a
dt
dt ′

La aceleración no cambia:
a
R ′=R
a
Por lo tanto el sistema S’ también es inercial y en
él son válidas las tres leyes deNewton. Las leyes
de la Mecánica de Newton son invariantes bajo
transformaciones de Galileo.

Aceleración relativa constante
En este caso, el origen de S’ se mueve respecto a S con
aceleración a0, constante. En la figura se asume que en
R
t = 0 los orígenes de los dos sistemas coinciden y que
R = 0.
u
S’

S

R’
x
1
a 0 t2
R
2

R
x

2

Transformación de coordenadas:
12

Velocidad:

R ′ = R − R t − R 0 t2 , t ′ = t
a
x u
x

v
R

′=

dx ′
R
dx
R
,R =
v
dt ′
dt

Se tiene:
v
R ′ = R − R − R 0t
v u a

Aceleración:

R ′=
a

R
dv
R
dv ′
,R =
a
dt ′
dt

La aceleración cambia:
a
R ′ =R − R0
a a
Por lo tanto el sistema S’ no es inercial. La segunda
ley de Newton debe ser modificada.

Fuerzas Ficticias
R
Sea F la fuerzaactuando sobre la artícula en el sistema
inercial S. Se tiene:
R
a
R
R
F = m R = ma ′ + ma0

En S’ la segunda ley de Newton es:
R
R
R
F = ma ′, con F = F − ma0
R
R
′

′

Para poder describir el movimiento de la partícula
relativo al sistema no inercial S’, debemos agregar a
R
la fuerza externa F , la fuerza “ficticia” −ma0.
R
3

Ejemplo 1. Una masa M se encuentra atada alextremo de un resorte de constante k. Si el resorte
y la masa están sobre un carro que acelera hacia la
derecha con aceleración a0, encuentre la compresión
del resorte L a partir de su posición de equilibrio para
que la masa esté en reposo respecto al carro.
Escojamos los dos ejes coordenados en S y S’,
apuntando hacia la derecha. Notar que en S’ la fuerza
ficticia apunta hacia laizquierda.
ma0
F ′ = 0 = kL − ma0 , L =
k
Ejemplo 2. Ascensor en caída libre.
Un astronauta cae junto con un ascensor en caída libre.
Determine la fuerza que actúa sobre el astronauta,
relativa al ascensor.
Tomemos el eje y dirigido verticalmente hacia la
Tierra.
a0 = g, F ′ = mg − mg = 0
El astronauta experimenta la ingravidez al interior del
ascensor.

Sistema fijo a la Tierra
Sea S unsistema inercial con ejes coordenados I,J,K.
S’ está atado a la Tierra, con ejes coordenados I’,J’,K’.
Tomemos K y K’ coincidentes con el eje de rotación de
la Tierra. φ es el ángulo de rotación de S’ respecto a S.
4

Transformación de coordenadas:
I ′ = I cos φ + J sen φ
J ′ = −I sen φ + J cos φ
K′ = K
Las derivadas temporales son:
′
˙
˙
I˙ = (−I sen φ + J cos φ)φ = φJ ′
˙
˙
˙′
J =(−I cos φ − J sen φ)φ = −φI ′

Consideremos una partícula fija a la Tierra
′
′
R
x0 = x0 I ′ + y0 J ′ + z0 ′K ′

Velocidad
R
v

′=

R
dx
R
dx ′
,R =
v
dt ′
dt

Se tiene:
′ ˙
′ ˙
R
R 0 = x0 φ J ′ − y 0 φ I ′ = D × x0
R
v

Vector de Darboux:
˙
R
D = φK ′
˙
φ es la velocidad angular de rotación de la Tierra.
Todos los puntos sobre ella, excepto los polos giranhacia el Este.
Consideremos ahora una partícula que se desplaza
sobre la Tierra
x
R = x ′ I ′ + y ′ J ′ + z ′K ′
5

Velocidad
R
R
v
R = x ′ I ′ + y ′ J ′ + z ′K ′ + D × R = R ′ + D × R
˙
˙
˙
x v
x

Aceleración:
R ′=
a

R
R
dv ′
dv
R =
,a
dt
dt ′

La aceleración cambia:
R
R
R
a
R = x ′ I ′ + y ′ J ′ + z ′K ′ + 2D × R + D × D × R =
¨
¨
¨
v
x
R
R
R ′ + 2D...