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Chapter 1 Permutaciones
1.1 Introducci´n o

Las permutaciones son el ejemplo de grupo finito que m´s se utiliza dentro de la teor´ de a ıa grupos. Su importancia se debe a que todo grupo es isomorfo a un grupo de permutaciones, por un lado, y por otro, el grupo de las permutaciones de las ra´ ıces de un polinomio, permite determinar la solubilidad de una ecuaci´n algebr´ica asociada a ´l,resultado este o a e que se conoce con el nombre de Teor´ de Galois. ıa El problema de la resoluci´n de ecuaciones algebr´icas de grado superior a 4, fue o a atacado por el matem´tico Noruego Niels Henrik Abel (1802-1829) quien en 1824 public´ a o una memoria titulada “ Sobre la Resoluci´n de Ecuaciones Algebr´icas”, en donde se o a da la primera prueba de la imposibilidad de resolver en general laecuaci´n de grado 5, o usando radicales. Dicho en otras palabras, Abel prob´ que no existe una f´rmula general para resolver o o ecuaciones de grado mayor que 4. Anteriormente Carl F. Gauss hab´ resuelto un famoso problema, planteado desde la ıa ´poca de los griegos sobre la posibilidad de construir con regla y comp´s un pol´ e a ıgono regular. Este problema se reduce a resolver la ecuaci´n o axn + b= 0 con a y b enteros, usando ra´ ıces. El matem´tico franc´s Evarist Galois (1810-1832) inspirandose en ambos trabajos, se a e plante´ el problema a´n m´s general: o u a Dar un criterio para solubilidad de la ecuaci´n o an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 = 0 (1.1)

por medio de radicales. Galois obtuvo un m´todo muy interesante, que ha sido uno de los aportes m´s grandes e a a lamatem´qtica, y en donde el grupo de permutaciones de las ra´ a ıces del polinomio en 1

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CHAPTER 1. PERMUTACIONES

(1.1) nos da toda la informaci´n necesaria. Este resultado dice “La ecuaci´n (1.1) es o o soluble si y s´lo si el grupo de permutaciones de las ra´ o ıces es soluble”. Al final de este cap´ ıtulo se da una demostraci´n completa de la simplicidad de los o grupos alternantes An para n ≥ 5,lo cual prueba que estos grupos no son solubles y este resultado es as´ equivalente a probar que la ecuaci´n (1.1) no se puede resolver por ı, o radicales.

1.2

Descomposici´n C´ o ıclica

Sea S un conjunto finito de n elementos. Estudiaremos en detalle el grupo de permutaciones de S, el cual se denota por A(S). Sea S = {x1 , . . . , xn } entonces si θ es una permutaci´n de S podemosrepresentarla o en la forma θ= donde θx1 = xi1 , θx2 = xi2 , . . . , etc. Podemos simplificar esta notaci´n, eliminado las x, para obtener o θ= 1 2 ··· n i1 i2 . . . in x1 x2 · · · xn xi1 xi2 . . . xin ,

As´ pues una permutaci´n del conjunto S, se puede representar, sin ambig¨edad, por ı o u una permutaci´n del conjunto {1, 2, . . . , n}. El conjunto de estas prmutaciones se denota o por Sn y se llamaGrupo Sim´trico de grado n. e Cuando se tienen dos permutaciones θ y τ en Sn , el producto θτ se interpreta de la forma siguiente: θτ (m) = τ (θ(m)), para todo m ∈ {1, 2, . . . , n}. Es decir, convenimos en “leer” el producto de permutaciones de izquierda a derecha. Otros autores lo hacen en sentido contrario, pero en todo este trabajo usamos siempre la misma convenci´n. o Por ejemplo si θ, τ enS6 son de la forma θ= 1 2 3 4 5 6 2 3 1 4 5 6

τ=

1 2 3 4 5 6 3 4 1 2 5 6

´ 1.2. DESCOMPOSICION C´ ICLICA Entonces θτ = 1 2 3 4 5 6 4 1 3 2 5 6 1 2 3 4 5 6 1 4 2 3 5 6 θτ = θτ. y por lo tanto Sn no es abeliano, para n > 2. Sea θ ∈ Sn y m un elemento del conjunto {1, 2, . . . , n}.

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τθ = N´tese que o

Diremos que la permutaci´n θ: o 1 Mueve a m si θ(m) = m 2 Fija a m si θ(m) = m.El conjunto de los elementos de {1, 2, . . . , n} que son movidos por una permutaci´n σ, o se denota por Aσ y se llama el soporte de la permutaci´n. o Por ejemplo, si σ y θ son las dos permutaciones dadas con anterioridad, tendremos: Aσ = {1, 2, 3} y Aθ = {1, 2, 3, 4} Dos premutaciones σ y θ1 se dicen permutaciones disjuntas, si Aσ ∩ Aθ = φ. 1 En S6 consideremos las permutaciones θ= y σ= 1 2 3...