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4.2.1. Método del trapecio

La regla del trapecio es la primera de las formulas cerradas de integración de Newton Cotes. Corresponde al caso donde el polinomio de la ecuación  es de primer grado: 
Una línea recta se puede representar como:

El área bajo esta línea recta es una aproximación de la integral de ƒ(×) entre los limites ɑ y b:

El resultado de la integración es:
 
Que sedenomina regla del trapecio.
Obtención de la regla del trapecio
Antes de la integración, la ecuación se puede expresar como:
 



Agrupando los últimos 2 términos:
 
La cual puede integrarseentre x= ɑ y x =b para obtener:

Este resultado se evalúa para dar:

Ahora como b² ‐ ɑ² = (b ‐ ɑ) (b + ɑ).
 
Multiplicando y agrupando términos se tiene:
 
Que es la fórmula para la regla deltrapecio.
Geométricamente, la regla del trapecio es equivalente a aproximar el área del trapecio bajo la línea recta que une ƒ (ɑ) y ƒ (b). Recuerde que la formula para calcular el area de un trapezoidees la altura por el promedio de las bases. En nuestro caso, el concepto es el mismo, pero el trapezoide esta sobre su lado. Por lo tanto, la integral aproximada se representa como:
 
Error de laregla del trapecio
Cuando empleamos la integral bajo un segmento de línea recta para aproximar la integral bajo una curva, obviamente se tiene un error que puede ser importante. Una estimación al errorde truncamiento local para una sola aplicación de la regla del trapecio es:

Donde ᵹ está en algún lugar en el intervalo de ɑ a b. La ecuación indica que si la función sujeta a integración eslineal, la regla del trapecio será exacta. De otra manera, para funciones con derivadas de segundo orden y de orden superior (es decir, con curvatura), puede ocurrir algún error.
Ejemplo
1. Aplicaciónsimple de la regla del trapecio.
*Planteamiento del problema.
Con la ecuación integre numéricamente 
 
Desde a=0 hasta b=0.8, recuerde de la sección PT6.2 que el valor exacto de la integral se...