muentificado

2. COMUNICACIÓNES DIGITALES – MUESTREO

Con base en la discusión del capitulo anterior tenemos claro que a pesar de que las señales
análogas tienen infinitas formas, la información es discreta y por lo general corresponde a una
secuencia de símbolos de algún alfabeto. Cada uno de dichos símbolos posee una forma
característica distinta a los demás símbolos, pero dicho símbolo a pesar delruido y distorsión
agregados, puede (bajo algún nivel máximo de ruido y distorsión) seguir conservando su forma
representativa y por lo tanto se puede detectar en el receptor.
Así el proceso de digitalización de una señal consiste en primero realizar un muestreo de la
señal y posteriormente la cuantización.
Para el proceso de muestreo multiplicamos a la señal g(t) por un tren de impulsos como seobserva en la figura (1):

Figura (1)

En la figura 1(a) se observa la señal original, y al multiplicarla por tren de impulsos (con periodo
Ts) se obtiene el resultado de la parte (b)
Es importante anotar que las señales pueden ser tanto pasabajas como pasabandas, para
señales pasaaltas no se habla de muestreo.

1

Muestreo de señales pasabajos

Dada una señal g(t) pasabajoscontinua en el tiempo y en amplitud, se obtiene la señal
muestreada como:


g s (t )  g (t )   (t  nTs )

(1)

n  

g s (t ) 



 g (nT ) (t  nT )

n  

s

(2)

s

Este proceso también puede verse como una modulación donde la portadora es el tren de
impulsos:

Señal g(t)

Multiplicador
(modulador)

Señal gs(t)

Tren de
impulsos

Figura (2)

Espectrode la señal muestreada:
Supongamos que la transformada de Fourier de la g(t) es G(f), ahora nos interesa encontrar la
transformada de la señal gs(t), es decir Gs(f) y compararlas.



 

g s (t )   Gs  f    g (t )   (t  nTs )   G( f ) *    (t  nTs ) 
n  


 n 


(3)

Pero recordemos que:

 

   (t  nTs )   f s   ( f  mf s )
m 
 n  


con

fs 

1
Ts

(4)

Por lo cual:

1
 

Gs ( f )  G( f ) *   (t  nTs )   G( f ) *
Ts
 n




 ( f  mf )

m  

s

Como G(f) no depende del índice m, podemos trasladarla dentro de la integral:

2

Gs  f   G ( f ) *

Gs  f   f s

1
Ts



 ( f  mf s )  f s

m  



 G f *  ( f  mf )

m  s



 G( f  m f )

m 

(5)

s

El espectro de la señal muestreada es una versión periódica del espectro de la señal g(t) con
periodo (en frecuencia) 1/Ts, siempre y cuando el espectro de g(t) sea limitado en banda a W.

(c)

Figura (3)
Para el caso de la figura 3(b), la frecuencia de muestreo es justamente dos veces la frecuencia
máxima de la señal original (fs=2W). Enel caso que la frecuencia de muestreo aumente se
observara en el espectro una separación entre los espectros originales de la señal. La grafica
3(c) muestra el espectro correspondiente de la señal muestreada a una frecuencia fs=4W.

3

Reconstrucción de la señal original g(t):

Por otra parte si analizamos la ecuación (2), sabemos que la transformada de fourier de (2) es:

 
 
Gs (f )    g (nTs ) (t  nTs )    g (nTs ) (t  nTs ) 
 n
 n
 (t  nTs )  exp(  j 2nfTs )

Pero:

Gs ( f ) 

en consecuencia:



 g (nT ) exp  j 2nfT 
s

n  

(6)

s

De este punto de vista el espectro de la señal muestreada es un ensamble de exponenciales
complejas con coeficientes g(nT s); y si colocamos fs igual a 2W (ver figura 3(b))para que no halla
solapamiento entre espectros vecinos, tendremos que:

Gs ( f ) 





n

 g ( 2W ) exp  


n  

jnf 

W 

(7)

Y para la ecuación (5) con fs=2W se llega a:

G( f ) 

1
Gs  f 
2W

para  W  f  W

(m  1)

(8)

Reemplazando la ecuación (7) en la ecuación (8) se obtiene:

G( f ) 

1
2W





n

 g ( 2W ) exp  ...