Muestreo

Señales discretas

Muestreo
Consiste en tomar puntos
de una señal, separados
por un cierto periodo de
muestreo. De este modo se
puede obtener una señal
discreta en vez de una
continua.
Ts = 0.1
f s = 10
f (t ) : señal continua
x(n) : señal discreta

x(n) = f (n × Ts )

Muestreo ideal
La señal es multiplicada por un tren de impulsos.

f (t )

D(t )

Ts

f muestr (t )Espectro de la señal
muestreada
El espectro de la señal original es :
F (ω ) = ℑ( f (t ) )
Fmuestr (ω ) = ℑ( f (t ) × D(t ) )

∞
⎛
⎞
Fmuestr (ω ) = ℑ⎜ f (t ) × ∑ δ (t − nTs ) ⎟
n = −∞
⎝
⎠
⎛
1 ∞ jnω0t ⎞
2π
⎟ con ω0 =
Fmuestr (ω ) = ℑ⎜ f (t ) × ∑ e
⎜
⎟
Ts n = −∞
Ts
⎝
⎠

⎞
⎛1 ∞
⎜ ∑ f (t )e jnω0t ⎟
Fmuestr (ω ) = ℑ⎜
⎟
Ts n = −∞
⎠
⎝
1∞
Fmuestr (ω ) =
∑ F (ω − nω0 )Ts n = −∞

Teorema del Muestreo
1∞
Fmuestr (ω ) =
∑ F (ω − nω0 ) para ω
Ts n = −∞
1∞
Fmuestr ( f ) =
∑ F ( f − nf s ) para f
Ts n = −∞

f (t )

f muestr (t )

fs

f muestr (t )
-fs/2

fs/2

fs

fs

Teorema del muestreo
f muestr (t )
-fs/2

fs/2

El espectro de la señal muestreada se obtiene
sumando varios espectros de la señal original que
están desplazadosSi la señal original contiene frecuencias mayores a
fs/2, se va a producir un traslape (aliasing) al sumar
los espectros. Esto va a impedir recuperar la señal
original.

Teorema del Muestreo
Una señal se puede muestrear y luego
reconstruir únicamente y sin sufrir alteraciones si
su espectro está entre –fs/2 y fs/2

fs
fM <
2
Mayor frecuencia
contenida en la señal

Frecuencia o tasade
muestreo

Filtros discretos lineales
FIR: la salida es una combinación lineal (una suma) de la
entrada actual y las anteriores. Si el filtro es no causal,
también pueden entrar a la suma entradas posteriores a la
actual. Ejemplo:

y (n) = 3 x(n) + 3 x(n − 1) + 2 x(n − 2) + 2 x(n − 3) + x(n − 4)
n-4

n-3

n-2

n-1

n

4

1

-2

2

-3

*1

*2

*2

*3

*32

1

-5

-2

4

1

x

h(n) = {3,3,2,2,1,0,0,...}
h( z ) = 3 + 3 z −1 + 2 z −2 + 2 z −3 + z −4

+
-27
n-4

n-3

n-2

n-1

n

y

Filtros discretos lineales
IR: La salida es una combinación lineal de la entrada
actual, entradas anteriores (y futuras) y salidas
anteriores. Requieren condiciones iniciales. Ejemplo:

y (n) − 6 y (n − 1) − 5 y (n − 2) = 3 x(n) + 3x(n − 1) + 2 x(n − 2) + 2 x(n − 3) + x(n − 4)

⇒ y (n) = 6 y (n − 1) + 5 y (n − 2) + 3 x(n) + 3 x(n − 1) + 2 x(n − 2) + 2 x(n − 3) + x(n − 4)
n-4

n-3

n-2

n-1

n

4

1

-2

2

-3

*1

*2

*2

*3

*3

2

1

-5

-2

4

1

x

y ( z ) 3 + 3z −1 + 2 z − 2 + 2 z −3 + z − 4
=
h( z ) =
1 − 6 z −1 − 5 z − 2
x( z )
+
*5
2
n-4

n-3

*6
-2

n-2n-1

-29
n

y

DFT, FFT
DFT: Transformada discreta de Fourier: Nace de hacer la
integral numéricamente. También hay una DFT inversa.

F (ω ) = ∫

∞

t = −∞

f (t )e

− j ωt

1
dt ; f (t ) =
2π

∞

∫ω

= −∞

N −1

N −1

F (ω )e jωt dω

⇒ X (k ) = ∑ x(n)W ; x(n) = ∑ X (k )W
kn

n =0

Para k=0..N-1

− kn

con W = e

−j

2π
N

k =0

Parak=0..N-1

FFT: Algoritmo para calcular la DFT rápidamente
(aprovecha mejor los valores ya calculados). Requiere que
el número de puntos sea potencia de 2. Si no se cumple
esto, se deben agregar ceros para que se cumpla.

DFT, FFT
Sea WN = e

−j

2π
N

=>

1
de un ángulo de - 360º (N = 4 ⇒ −90º )
N

N -1

X(k) = ∑ x(n)WN

kn

Separamos en n pares e impares :

n =0

X(k) =∑ x(n)W

kn

N

∑ x(n)W

+

n pares

kn

N

n impares

N⎫
⎧
pares = {0,2,..., N − 2} ⇒ n = 2r ⇒ r ∈ ⎨0,1,..., − 1⎬
2⎭
⎩
N⎫
⎧
impares = {1,3,..., N − 1} ⇒ n = 2r + 1 ⇒ r ∈ ⎨0,1,..., − 1⎬
2⎭
⎩
N
−1
2

X(k) = ∑ x(2r)WN

2 rk

r =0

N
−1
2

N
−1
2

+ ∑ x(2r + 1)WN
r =0

X(k) = ∑ x(2r)(WN ) rk + WN
2

k

r =0

N
−1
2

X(k) = ∑ x(2r)WN + WN...