Multiplicadores de Lagrange

MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

Es el método empleado para resolver problemas de optimización restringida. Consiste en convertir un problema de extremos restringidos en una forma tal que se puedaaplicar las condiciones para extremos libres.

Planteamiento geométrico. Supongamos una superficie, definida por la función , y sobre esta superficie tracemos una curva, definida por la ecuación . Setrata de encontrar los máximos y mínimos de esta curva espacial.

Planteamiento analítico. Se trata de hacer máxima o mínima una función sujeta a una restricción

Reducción a una variable:Teóricamente el problema se puede resolver despejando “y” en la ecuacióny sustituyendo en , con lo cual el problema se reduce a calcular un máximo o un mínimo de una sola variable.
El problema sepresenta cuando no es práctico o no es posible despejar una de las variables en la ecuación

Método de los multiplicadores de LaGrange. Los extremos de la función condicionados por la restricción, seproducen en los puntos críticos de la función de LaGrange:
Condiciones necesarias de extremo. Las condiciones necesarias del extremo de una función de LaGrange vienen dadas por el sistema deecuaciones.


Para resolver el sistema, eliminamos 𝜆 de las dos primeras ecuaciones y el resultado lo sustituimos en la tercera (procurando no perder soluciones con las simplificaciones).

Reducción ados variables: Los extremos de la función, condicionados por la restricción , pueden reducirse a un extremo de dos variables en aquellos casos en que sea posible despejar una de las variables de laecuación .
Extremos condicionados con varias ligaduras: Los extremos de la función , condicionados por las restricciones se producen en los puntos críticos de la función de LaGrange:Ejercicios:
Una restricción
Utilice el método de multiplicadores de LaGrange para determinar los puntos críticos de la función sujeta a la restricción.
con la restricción .


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