método de Newton

Páginas: 2 (420 palabras) Publicado: 10 de abril de 2014
MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre unintervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; ésta cruza al ejeen un punto que será nuestra siguiente aproximación a la raíz .
Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente





Y por lo tantola ecuación de la recta tangente es:





Hacemos :





Y despejamos :





Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:, si



Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz.Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidezimpresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.
También observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que larecta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso mismo es una raíz de !
Ejemplo 1
Usar el método de Newton-Raphson,para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que .
Solución
En este caso, tenemos que





De aquí tenemos que:





Comenzamos con y obtenemos:





En este caso,el error aproximado es,





Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz

Error aprox....
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