método de Newton
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre unintervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ,
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; ésta cruza al ejeen un punto que será nuestra siguiente aproximación a la raíz .
Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tantola ecuación de la recta tangente es:
Hacemos :
Y despejamos :
Que es la fómula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:, si
Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz.Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidezimpresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.
También observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que larecta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso mismo es una raíz de !
Ejemplo 1
Usar el método de Newton-Raphson,para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que .
Solución
En este caso, tenemos que
De aquí tenemos que:
Comenzamos con y obtenemos:
En este caso,el error aproximado es,
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz
Error aprox....
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