Número Complejo

NÚMERO COMPLEJO
Definición Llamamos número complejo al número z= a + b i , con a y b números reales i se denomina unidad imaginaria y cumple i 2 = −1 a se denomina parte real (anotamos Re(z) = a ) y b parte imaginaria (anotamos Im(z) = b ) Al conjunto de los números complejos lo notaremos C Definición Dos complejos z= a + b i y w = c + d i son iguales si y solo si a = c y b = d Representacióngráfica

P

P2

ϕ
O

Si en un plano establecemos un sistema de coordenadas cartesianas (en este caso ortogonales), a cada complejo z = a + b i le podemos asociar un y solo un punto P del plano; justamente el de coordenadas (a, b), que denominamos afijo de z Establecemos de esta forma una biyección entre C y los puntos del plano.

P1

Definición de igualdad a +bi = c +di ⇔ a = c y b = dDefinición de suma Dados los complejos z= a +bi , y = c +di definimos z+y = (a+b) +(c+d)i Representación gráfica

H P

Q O
1

Definición de producto Dados los complejos z= a +bi , y = c +di Definimos z.y = ( ac –bd ) + (ad+bc ) i Nota La estructura ( C , + , . ) es un cuerpo o sea que se cumplen las siguientes propiedades: • Asociativa de + y de . • Conmutativa de + y de . • Existe neutrode + ( 0+0i ) • Existe neutro de . ( 1 + 0 i ) • Cada complejo tiene opuesto ( el opuesto de z = a + b i es – z = -a –b i ) • Cada complejo distinto del neutro de la suma tiene inverso a b ( el inverso de z = a + b i es z −1 = 2 − 2 i ) 2 a + b a + b2 • Distributiva de . respecto de + Distintas notaciones de un número complejo Determinar el complejo z ( z ≠ 0 ) es equivalente a determinar el puntoP. Y esto puede hacerse no solamente mediante las coordenadas cartesianas sino también dando la distancia de O a P y ˆ la medida del ángulo POP 1 ˆ Si d (O, P ) = ρ y la medida de POP = ϕ ; ; el punto P, y por lo tanto el complejo z está
determinado por el par de reales ρ , ϕ . Anotamos z = ρ 〈ϕ , y decimos que es su forma polar ( notación polar). ρ se denomina módulo de z y ϕ su argumento.
1Nota: Al módulo de z lo escribimos:
principal al que cumple que:

z . y consideraremos además llamaremos argumento

−π ≤ϕ ≤ π

¿Como procederíamos para pasar un complejo en forma binómica a su forma polar?

¿Y de la forma polar a la binómica?

Ejercicio  ρ = ρ' Mostrar gráficamente que: ρ 〈ϕ = ρ ' 〈ϕ ' ⇔   ϕ = ϕ '+ 2kπ Teorema:

(k ∈ Z )

ρ 〈ϕ . ρ' 〈ϕ' = ρ.ρ' 〈ϕ + ϕ'Demostración a cargo de los estudiantes

Ejercicio1

2

Si z = ρ 〈ϕ Ejercicio 2

( z ≠ 0), probar que:

1 = 1 〈−ϕ ρ z

Considerar: z = ρ 〈ϕ , w = 1〈 π y t = 2 〈 π . 4 4 a) Hallar: z.w, z.t y z.i b) Interpretar geométricamente

Conjugado de un complejo Definición Sea z = a + bi ∈ C. Llamamos conjugado de z, y lo notaremos z , al complejo a –b i Teoremas :
1)

P(a,b)

Si z = a + b.i ⇒ z= a − b.i

2) z + z = 2a = 2 Re( z )
2 3) z.z = (a + bi ) (a − bi ) = a 2 + b 2 = z 4) El afijo de z es el simétrico con respecto a Ox del afijo de z.

P’(a,-b)

Teoremas 1) Si z = ρ 〈ϕ ⇒ z = ρ 〈−ϕ 2)

( z ) = z, ∀z ∈ C

3) z = z ⇔ z ∈ ℜ 4) x + y = x + y, ∀x, y ∈ C 5) x. y = x. y, ∀x, y ∈ C n 6) x n = x , ∀x ∈ C , ∀n ∈ ℕ , excluyendo x = n = 0.

()

Definición de división Dados loscomplejos z y w ( w ≠ 0 ) z = v ⇔ z = w .v w Ejemplo
3+i (3 + i ) ( 2 − 5i ) 11 − 13 i 11 13 = = = − i 2 + 5 i (2 + 5 i )( 2 − 5i ) 29 29 29

En este ejemplo hemos utilizado la propiedad relativa al producto de conjugados.
3

Potencia de exponente entero Definición Consideramos: α ∈ C y z ∈ Z Si α = 0 y z > 0, definimos α z = 0 z = 0 Si α ≠ 0 y z = 0, definimos α z = α 0 = 1 Si α ≠ 0 y z >0, definimos α z = α .α z − 1 Si α ≠ 0 y z < 0, definimos α z = Ejercicio Determinar una fórmula que permita hallar las potencias de i. Teorema  α ∈ C ; α = ρ 〈ϕ H)   m∈Z

1 α −z

T ) α m = ρ m 〈 mϕ

Nota: Si

z = ρ < ϕ ⇒ z = ρ (cos ϕ + isenϕ a esta se la denomina notación trigonométrica

Entonces: Para ρ = 1 la fórmula anterior nos queda:

(cos φ + i.sen φ )n = cos n.φ + i.sen...