Números complejos

DEFINICIÓN DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS: 
Los números complejos no son más que una extensión de los números reales, donde se cumple que [pic].

También podemos decir que estos números complejos son las herramientas de trabajo del álgebra ordinaria, conocida también como el álgebra de los números complejos, así como en sus ramas de las matemáticas puras y aplicadas podemos encontrar:• Variable compleja,

• Aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.

Estos números también contienen a los números reales y los imaginarios puros además constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Donde los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja oanálisis complejo.

Es decir que estos números están representados por todas aquellas raíces de los polinomios, a diferencia de los reales.
Entonces podemos decir que cada complejo Z es un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:

• Suma:
[pic]
• Producto por escalar:
[pic]
• Multiplicación:
[pic]• Igualdad:
[pic]
A partir de estas operaciones podemos realizar otras como las siguientes:

• Resta:
[pic]
• División:
[pic]

Al primer componente o variable (lo llamaremos a) a la cual se le llama parte real y al segundo (lo llamaremos b), que vendría siendo la parte imaginaria. Se le llama o denomina número imaginario puro a aquel que esta compuesto sólo por laparte imaginaria, es decir a = 0.

Los números complejos forman un cuerpo complejo, denotado por C. Donde si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un sub-cuerpo de C.

Donde C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los números complejos no pueden ser ordenados como: los números reales: Ya que C no puede serconvertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

La multiplicación de números complejos es asociativa, conmutativa y distributiva:

Sean [pic]

• I) [pic]

• II) [pic]

• III) [pic]

Sean [pic]  con [pic]

Para demostrar la propiedad asociativa (I)

[pic]

[pic]
Por otra parte

[pic]

[pic]

Entonces se cumple que: [pic].

UNIDAD IMAGINARIA:Tomando en cuenta que [pic], podemos definir que un número especial en matemáticas es el número i o unidad imaginaria, definido como

[pic]
Por medios del cual podemos deducir que,

[pic]
REPRESENTACIÓN GRAFICA:
Como estos números son pares de números reales podemos realizar una representación grafica de los mismos mediante el plano [pic][pic].
En esta representación del plano[pic][pic] que vemos acontinuación se le llama  eje real (Re) al eje de las [pic][pic][pic] y  al eje imaginario (Im) eje de las [pic].
[pic]
Representación del número complejo [pic][pic].

REPRESENTACION BINOMICA:
Un número complejo se representa en forma binomial como:

[pic]
Donde la parte real del número complejo y la parte imaginaria, se pueden expresar de varias maneras, como porejemplo:

[pic]
[pic]
SUMA Y MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN LA FORMA BINÓMICA:
[pic][pic],  puesto que [pic][pic] son todos números reales.
[pic] [pic] Porque  [pic][pic].
 
Ahora pueden observar que los resultados de dichas operaciones son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio.
Es por eso que la realización de las operaciones de suma ymultiplicación con números complejos se puede realizar en forma de pares o en forma binómica, donde la ventaja va a estar a favor de la forma binómica ya que esta se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.
 
Ejemplo.  Si  [pic][pic] y [pic][pic], halle [pic][pic] y [pic][pic].
 [pic][pic]
[pic][pic]

CONJUGADO DE UN NÚMERO COMPLEJO:

Si  [pic][pic]  es...