Números Complejos

NÚMEROS COMPLEJOS


Si tenemos que resolver la ecuación: “Un número cuyo cuadrado es igual a 5”, entonces el planteo sería el siguiente:
, tiene soluciónen los R.

Ahora, si tenemos la ecuación: , NO tiene solución en los R.

La imposibilidad de resolver ecuaciones de este tipo, crea la necesidad de extender el concepto denúmero, dando origen a la ampliación del conjunto de los números reales, mediante la introducción de los números complejos.

DEFINICIÓN: Un número complejo está formado por un par ordenado (a ; b) denúmeros reales para los cuales se establece la siguiente relación de igualdad:
(a ; b) = (c ; d) a = c yb = d

Al conjunto de números complejos, lo simbolizamos con la letra C.

Entre esto pares ordenados, que llamaremos números complejos, se definen las operaciones de adición y multiplicación.Adición de números complejos
Dados (a ; b) y (c ; d) C (a ; b) + (c ; d) = (a+c ; b+d)

Por ejemplo: (2 ; 1) + (3 ; 9) = (5 ; 10)

Multiplicación de números complejos
Dados (a; b) y (c ; d) C (a ; b) . (c ; d) = (ac – bd ; ad + bc)

Por ejemplo: (3 ; 5) . (2 ; ) = (

PROPIEDADES
Sean :

Asociativa:
Conmutativa:
Elemento neutro: Si xiste tal queInverso aditivo: Si existe ,
tal que

Asociativa:
Conmutativa:
Elemento neutro: Si existe tal que
Inverso multiplicativo: Si existe , tal queDistributiva de la multiplicación con respecto a la adición:


OBSERVACIONES:
Dado diremos que es la parte real y la parte imaginaria. Sin embargo, debemos notar que tanto como son reales.Escribimos:

Si identificamos al número real con el complejo es decir, de parte imaginaria nula; es lo mismo hablar en R de , que hablar en C del número .
De aquí resulta que podemos...