números complejos

Instituto Náutico luz Bolivariana
Inscrito en el M.P.P.E Inea
Junquito-Caracas









Estudiante:
Yamilet Jimenez. N°: 16#
4° “U”
Caracas, 17/06/15
Índice
Contenido
pág.
Introducción
3
los números complejos
4
Representación gráfica
5
Conjugados y opuestos
8
Operaciones con números complejos
8
Operaciones de números complejos en forma binómica
10
Valor absoluto o modulo, argumento yconjugación
13
Operaciones en números complejos en forma trigonométrica
15
Conclusión
18















1. INTRODUCCIÓN
El tema de los Números Complejos, a pesar de ser tan interesante por integrar la trigonometría, el álgebra y la geometría, es muy poco estudiado. Para muchos docentes, la finalidad de los números complejos está en poder calcular las raíces enésimas de la unidad. En los cursos de álgebrade la Universidad, apenas se esbozan algunas de sus propiedades más importantes, dejando de lado aspectos geométricos tan importantes como el estudio de las transformaciones y los movimientos del plano. El poder de cálculo que se esconde detrás de los complejos, es algo mágico. Con un mínimo de esfuerzo, podemos derivar identidades y fórmulas trigonométricas que requieren de un trabajo tedioso yagotador, siguiendo los métodos usuales. Muchos conceptos de la matemática, como el de función, límites, series de potencias y continuidad se estudian de manera bastante natural dentro del ambiente de los números complejos. Los argumentos de prueba son mucho más intuitivos y transparentes en el plano.

2. LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Los números complejos son una extensión de los números reales y formanel mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como, siendo  el conjunto de los reales se cumple que  ( está contenido en ). Los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo realde la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Sabiendo que no existe ningún número real  tal que , se crea la siguiente notación:
   Es decir,
'' representa una especie de 'unidad imaginaria', y así se le llama con frecuencia.
 A partir de ella se construirá un conjunto de números que contiene a todos los números reales y además contiene a todas las soluciones de lasecuaciones polinómicas. Para cualquier número real positivo , se tiene:



Aquí  es un número real, porque  y así. Por ejemplo:

Un número complejo es una expresión de la forma: 


Donde  y  son números reales,  es la unidad imaginaria,  es la parte real del número complejo, y  es su parte imaginaria. Si  es un número complejo y, entonces  es un número real. Por eso, en el conjunto de todos losnúmeros complejos, están incluidos todos los números reales. En otras palabras, un número real es un número complejo con parte imaginaria igual a cero. Por otra parte, si  y, entonces  y se dice que  es un número imaginario puro.
Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
Suma

Producto por escalarMultiplicación

Igualdad


A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
Resta

División



3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA
Representación gráfica de los números complejos: 
Con frecuencia resulta muy útil representar los números complejos gráficamente en el plano cartesiano. Se identifica el número complejo con el par ordenado  y se representa este punto en el plano cartesiano(ver figura de la derecha)



En otras palabras, sobre el eje de las abscisas se representa la parte real del número complejo  y sobre el eje de las ordenadas, se representa su parte imaginaria. 
Los números complejos se representan en unos ejes cartesianos.
El eje X se llama eje real.
El eje Y se llama eje imaginario.

El número complejo a + bi se representa:
a) Por el punto (a, b), que se llama...