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Universidad del Atlantico Departamento de Matem´ticas y Estad´ a ıstica Ejercicios de practica 1. Sean A, B, C y D conjuntos. Demostrar que: (a) A × (B ∩ C) = (A × B) ∪ (A × C) (b) A × (B − C) = (A ×B) − (A × C) (c) A × (B C) = (A × B) (A × C)

(d) Si A ⊂ B y C ⊂ D, entonces A × C ⊂ B × D (e) (A ∩ B) × (C ∩ D) = (A × C) ∩ (B × D) (f) (A ∪ B) × (C ∪ D) = (A × C) ∪ (A × D) ∪ (B × C) ∪ (B × D)(g) Sea D un conjunto fundamental para A y B i.e A ⊂ D y B ⊂ D. Demostrar que: (A × B)c = (Ac × B c ) ∪ (Ac × B) ∪ (A × B c ) 2. Demostrar que A × B = ∅ si, y s´lo si A = ∅ ∨ B = ∅ o 3. Determine quepropiedades satisfacen cada una de las siguientes relaciones definidas en Z (a) R = {(x, y) | x = y} (b) R = {(x, y) | x ≤ y} (c) R = {(x, y) | x = y 2 }

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(d) R = {(x, y) | x es m´ltiplo de y} u(e) R = {(x, y) | x es divisor de y} (f) R = {(x, y) | x = y} (g) R = {(x, y) | x − y, es multiplo de 2} 4. Respecto al ´ ıtems anterior ¿que relaciones son de equivalencia?, ¿que relaciones son deorden?. 5. Hallar en cada caso un conjunto A y una relaci´n definida en ´l, tal o e que la relaci´n correspondiente sea: o (a) Reflexiva, sim´trica, pero no transitiva. e (b) No reflexiva, no simetrica, yno transitiva. (c) Reflexiva, no sim´trica, pero transitiva. e (d) No reflexiva, antisim´trica y transitiva. e 6. Determinar cual de las siguientes relaciones definidas en el conjunto indicado, son deequivalencia. (a) Sea A:=conjunto de todos los triangulos del plano R = {(x, y) | x es semejante con y} (b) Sea A = Z y m ∈ Z+ R = {(x, y) | x − y, es multiplo de m} (c) P (A) (partes de A) R = {(x, y)| x es un subconjunto de y}

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7. Considere los conjuntos A = {x ∈ N | x < 5}, B = {x ∈ N | 3 ≤ x ≤ 5} (a) R = {(2, 3), (3, 5), (1,3), (4, 4)} (b) S = {(1, 3), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} (c) T ={(1, 3), (1, 4), (1, 6)} (d) U = {(1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3)} (e) V = {(5, 4), (2, 3)} (f) G = {(1, 4), (1, 1)} (g) H = {(1, 4), (1, 1), (2, 3)} Calcule A × B ¿Que conjuntos son relaciones de A en...