naya

Integral Definida por Definición



Calcule

 5  x dx
2

3

1

Como F ( x)  5  x3 es continua en el intervalo  1, 2 sabemos que es integrable, por lo tanto:


Hallamos lapartición regular equidistante del intervalo  a, b  de longitud x 

x 


ba
:
n

2  (1)
2 1
3
 x 
 x 
n
n
n

Se determina el extremo derecho del i-ésimo subintervalodado, es decir, xi  a  i.x.

3i
3
xi  1  i     xi  1 
n
n


Luego se determina el valor numérico de la función integrando en el extremo derecho, es decir:

F ( xi ).
3i 
 3i 
F ( xi )  F   1  5    1
n 
n 

3

Aplicando productos notables: (a  b)³  a³  3.a².b  3.a.b²  b³

 3i 
 3i 
F ( xi )  F   1  5    1
n

n
3

2
 3i 3
2
3
 3i 
 3i 
 3i 
F ( xi )  F   1  5     3     1  3     1  1 
n

n
n
 n 




 27i 3 27i 2 9i 
 3i 
F ( xi )  F  1  5   3  2   1
n
n 
n

 n
3
2
 3i  27i 27i 9i
F ( xi )  F   1  3  2   1  5
n
n
n
n

3
2
 3i  27i 27i 9i
F ( xi )  F   1  3  2   4
n
n
n
n



Por último, aplica la definición de la Integral Definida en F ( xi ) .
b

n

 F ( x)dx  lim  F ( x )x
n 

a

i

x 0

 27i 3 27i 2 9i
 3
1  5  x dx  lim 0 n3  n2  n  4    n 
n 
x 
  
n

2



2

1

3

 5  x3 dx  lim

n 


3 n  27i 3 27i 2 9i
   3  2   4
n x 0  n
n
n


Por propiedades desumatorias tenemos:

  5  x dx  lim
2

3

1

n 

  5  x dx  lim
2

3

1



n 

2

1

 5  x3 dx  lim

n 

3  27 n ²(n  1)² 27 n(n  1)(2n  1) 9 n(n 1)

 3 
 2
 
 4n 
n  n
4
n
6
n
2


3  27 n ²(n ²  2n  1) 27 n(2n²  3n  1) 9 n²  n

 3 
 2
 
 4n 
n  n
4
n
6
n
2


3  27 n 4  2n3 ...