negosios

Cap´
ıtulo 3

´
DISTRIBUCION BINOMIAL Y
´
DISTRIBUCION NORMAL
3.1.

Introducci´n
o

Estudiaremos en este tema dos de las distribuciones de probabilidad m´s importantes y que son
a
imprescindibles a la hora de adentrarnos en el estudio de la inferencia estad´
ıstica. La distribuci´n
o
binomial es uno de los primeros ejemplos de las llamadas distribuciones discretas (que s´lopueden
o
tomar un n´mero finito, o infinito numerable, de valores). Fue estudiada por Jakob Bernoulli (Suiza,
u
1654-1705), qui´n escribi´ el primer tratado importante sobre probabilidad, “Ars conjectandi” (El
e
o
arte de pronosticar). Los Bernoulli formaron una de las sagas de matem´ticos m´s importantes de la
a
a
historia. La distribuci´n normal es un ejemplo de las distribuciones continuas,y aparece en multitud
o
de fen´menos sociales. Fue estudiada, entre otros, por J.K.F. Gauss (Alemania, 1777-1855), uno de los
o
m´s famosos matem´ticos de la historia. La gr´fica de la distribuci´n normal en forma de campana se
a
a
a
o
denomina Campana de Gauss.

3.2.

La distribuci´n binomial o de Bernoulli
o

La distribuci´n binomial est´ asociada a experimentos del siguientetipo:
o
a
- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos s´lo la posibilidad de ´xito o
o
e
fracaso.
- La obtenci´n de ´xito o fracaso en cada ocasi´n es independiente de la obtenci´n de ´xito o
o
e
o
o
e
fracaso en las dem´s ocasiones.
a
- La probabilidad de obtener ´xito o fracaso siempre es la misma en cada ocasi´n.
e
o
Ve´moslo con un ejemplo
a
Tiramos un dado 7veces y contamos el n´mero de cincos que obtenemos. ¿Cu´l es la probabilidad
u
a
de obtener tres cincos?.
Este es un t´
ıpico ejemplo de distribuci´n binomial, pues estamos repitiendo 7 veces el experimento
o
de lanzar un dado. ¿Cu´l es nuestro ´xito?.
a
e
Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.
El fracaso, por tanto, ser´ no sacar 5, sino sacar cualquier otro n´mero.a
u
1
´
Por tanto, Exito = E = “sacar un 5” =⇒ p(E) =
6
5
Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒ p(F ) =
6
Para calcular la probabilidad que nos piden, fij´monos en que nos dicen que sacamos 3 cincos y
e
por lo tanto tenemos 3 ´xitos y 4 fracasos, ¿de cu´ntas maneras pueden darse estas posibilidades?.
e
a
Podr´
ıamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sin sacarcinco, es decir: EEEFFFF
Pero tambi´n podr´
e
ıamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamos calculando de cu´ntas
a
38

´
´
CAP´
ITULO 3. DISTRIBUCION BINOMIAL Y DISTRIBUCION NORMAL

39

maneras se pueden ordenar 4 fracasos y 3 ´xitos. Recordando las t´cnicas combinatorias, este problema
e
e
se reduce a calcular las permutaciones con elementos repetidos:
7·6·5
7!
=
=35formas
3! · 4!
3·2·1
5
1
e
Y por tanto, como p(E) = y tengo 3 ´xitos y p(F ) = y tengo 4 fracasos:
6
6
1 1 1 5 5 5 5
p(tener 3 ´xitos y 4 fracasos) = 35 · · · · · · · = 0 0781
e
6 6 6 6 6 6 6
3,4
P7 =

1
Formalizando lo obtenido, en una variable binomial con 7 repeticiones y con probabilidad de ´xito ,
e
6
la probabilidad de obtener 3 ´xitos es 0’0781, y lo expresar´
e
ıamos:Bin 7;

1
6

, entonces p(X = 3) = 0 0781

Como repetir este proceso ser´ bastante penoso en la mayor´ de los casos, lo mejor es recurrir a la
ıa
ıa
siguiente f´rmula que expresa la probabilidad de obtener cierto n´mero de ´xitos en una distribuci´n
o
u
e
o
binomial:
Definici´n de distribuci´n binomial:
o
o
Si realizamos n veces un experimento en el que podemos obtener ´xito, E,con probabilidad p y
e
fracaso, F, con probabilidad q (q = 1 − p), diremos que estamos ante una distribuci´n binomial de
o
par´metros n y p, y lo representaremos por Bin(n;p). En este caso la probabilidad de obtener k ´xitos
a
e
viene dada por:
n
p(X = k) =
· pk · q (n−k)
k
Nota:
Observar que las probabilidades de ´xito y fracaso son complementarias, es decir, q = 1-p y p =
e
1-q,...