Nephtali Hernandez Sanchez Unidad 2 Matenaticas 3

CENTRO DE ESTUDIOS INTENSIVOS

“José Nephtali Hernández Sánchez”
Matemáticas III
Unidad 2
“Línea Recta”

I.- ENCUENTRE LA PENDIENTE Y EL ÁNGULO DE INCLINACIÓN DE LA RECTA QUE UNE
A LOS SIGUIENTES PUNTOS:
a) (4, 0) y (3,-6)
De A(4,0) y B(3,-6) obtenemos que X1=4; Y1=0; X2=3 y Y2=-6.
Respectivamente; luego, sustituyendo los valores antes mencionados en la fórmula de la
pendiente tenemos que.

M

y2  y1  6  0 6
 6
=
1
34
x 2  x1

Como M = tan α , sustituyendo el valor de M tenemos:
6 = tan α ; entonces α = arc tan 6= arc tan 6 =80.53º
Y

-X

A(4,0)
X

α 80.53º
B(3,-6)

-Y

CENTRO DE ESTUDIOS INTENSIVOS

“José Nephtali Hernández Sánchez”
Matemáticas III
Unidad 2
“Línea Recta”

b) (-3, 8) y (6, -9)
De A(-3,8) y B(6,-9) obtenemos que X1=-3; Y1=8; X2=6 y Y2=-9.
Respectivamente; luego,sustituyendo los valores antes mencionados en la fórmula de la
pendiente tenemos que.

M 

y 2  y1  9  8 17
 1.88

=
x 2  x1 6  (3) 9

Como M = tan α , sustituyendo el valor de M tenemos:
1.88 = tan α ; entonces α = arc tan 1.88= arc tan 1.88 =61.99º
Y
A(-3,8)

α 61.99º
-X
X

-Y

B(6,-9)

CENTRO DE ESTUDIOS INTENSIVOS

“José Nephtali Hernández Sánchez”
Matemáticas III
Unidad 2
“LíneaRecta”
c) (4, 9) y (5, 7)
De A(4,9) y B(5,7) obtenemos que X1=4; Y1=9; X2=5 y Y2=7.
Respectivamente; luego, sustituyendo los valores antes mencionados en la fórmula de la
pendiente tenemos que.

M 

y 2  y1 7  9 2
 2
=
x 2  x1 5  4 1

Como M = tan α , sustituyendo el valor de M tenemos:
2 = tan α ; entonces α = arc tan 2= arc tan 2 =63.43º
Y

A(4,9)

B(5,7)

α 63.43º

-X
X

-Y

CENTRO DEESTUDIOS INTENSIVOS

“José Nephtali Hernández Sánchez”
Matemáticas III
Unidad 2
“Línea Recta”
II.- DETERMINE SI LA RECTA L1 QUE PASA POR P Y Q Y LA RECTA L2 DEFINIDA POR A Y
B SON PERPENDICULARES.
a) P (2,0) , Q (-3,2) y A (-2,0) y B (3,2)
Determinando las pendientes de

y
Tenemos;
P3P 4
P1P 2
20
2

 y 2  y1
M


 0.4

 P1P 2  x2  x1  3  2  5

20
2

 y 4  y3
M


 0.4

 P3P4 x 4  x3 3  (2)  5




Y como M 
 . M
  0.4 . (0.4)  0.16 , Se deduce aplicando el
 P1P 2 
 P3 P 4 
segundo criterio (de perpendicularidad) que las rectas determinadas por los puntos
propuestos son perpendiculares.
Y
"RECTAS PERPENDICULARES"

P2(-3,2)

P4(3,2)

-X

P1(2,0)
P3(-2,0)

-Y

X

CENTRO DE ESTUDIOS INTENSIVOS

“José Nephtali Hernández Sánchez”
Matemáticas III
Unidad2
“Línea Recta”

b) P (3,0), Q(0, 2) y A (6, 0) y B (0,4)
Determinando las pendientes de

y
Tenemos;
P3P 4
P1P 2
2

 y 2  y1 2  0
M


 0.66

 P1P2  x 2  x1 0  3  3

4

 y 4  y3 4  0
M


 0.66

 P3P4  x 4  x3 0  6  6




Y como M 
 . M
  0.66 . (0.66)  0.4356 , Se deduce aplicando
 P1P 2 
 P3 P 4 
el segundo criterio (de perpendicularidad) que lasrectas determinadas por los puntos
propuestos son paralelas.
Y
"RECTAS PARALELAS"

P4(0,4)
P2(0,2)
-X

P3(6,0)
P1(3,0)

-Y

X

CENTRO DE ESTUDIOS INTENSIVOS

“José Nephtali Hernández Sánchez”
Matemáticas III
Unidad 2
“Línea Recta”
III.- DEMUESTRA POR MEDIO DE PENDIENTES QUE LOS PUNTOS DADOS SON LOS
VÉRTICES DE UN PARALELOGRAMO
a) (5, 0), (0,2), (-5,0) y (0,-2)
Para verificar que los puntos dadosson los vértices de un paralelograma se deben
determinar las pendientes de

,

,

P1P 2 P 2P3 P3P 4

y

P 4P1

2

 y 2  y1 2  0
M



 P1P2  x 2  x1 0  5  5

02
2

 y3  y 2
M



5
 P2 P3  x3  x2  5  0
2

 y 4  y3  2  0
M



 P3P 4  x 4  x3 0  (5)  5

2

 y1  y 4 0  (2)
M



50
5
 P4 P1  x1  x 4
Y

P2(0,2)
-X

P1(5,0)
X

P3(-5,0)
P4(0,-2)-Y

CENTRO DE ESTUDIOS INTENSIVOS

“José Nephtali Hernández Sánchez”
Matemáticas III
Unidad 2
“Línea Recta”

Se sabe por la geometría elemental que todos los paralelogramos tienen dos pares de
lados paralelos, situación que se verifica en los resultados anteriores porque hay dos
parejas de lados que tienen la misma pendiente, es decir, se cumple el criterio de
paralelismo.
IV.- ENCUENTRE LA...