newton y las derivadas

Paola Guadalupe Alegría Becerril

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Matemáticas 5

Newton y las derivadas

Belem Izeta Gutiérrez

Instituto de Educación Media Superior

Ricardo Flores Magón
Derivadas
La derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un conceptolocal, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
El valor de la derivada de una función en un punto puede interpretarse geométricamente, ya que se corresponde con lapendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto. La recta tangente es a su vez la gráfica de la mejor aproximación lineal de la función alrededor de dicho punto. La noción de derivada puede generalizarse para el caso de funciones de más de una variable con la derivada parcial y el diferencial.

La derivada de una función f en un punto x se denota como f′(x). La funcióncuyo valor en cada punto x es esta derivada es la llamada función derivada de f, denotada por f′. El proceso de encontrar la derivada de una función se denomina diferenciación, y es una de las herramientas principales en el área de las matemáticas conocida como cálculo infinitesimal.
A finales del siglo XVII sintetizaron en dos conceptos, métodos usados por sus predecesores los que hoy llamamos«derivadas» e «integrales». Desarrollaron reglas para manipular las derivadas (reglas de derivación) y mostraron que ambos conceptos eran inversos (teorema fundamental del cálculo).

Newton desarrolló en Cambridge su propio método para el cálculo de tangentes. En 1665 encontró un algoritmo para derivar funciones algebraicas que coincidía con el descubierto por Fermat. A finales de 1665 se dedicó areestructurar las bases de su cálculo, intentando desligarse de los infinitesimales, e introdujo el concepto de fluxión, que para él era la velocidad con la que una variable «fluye» (varía) con el tiempo.

Leibniz, por su parte, formuló y desarrolló el cálculo diferencial en 1675. Fue el primero en publicar los mismos resultados que Isaac Newton descubriera 10 años antes. En su investigaciónconservó un carácter geométrico y trató a la derivada como un cociente incremental y no como una velocidad, viendo el sentido de su correspondencia con la pendiente de la recta tangente a la curva en dicho punto.

Fue quizás el mayor inventor de símbolos matemáticos. A él se deben los nombres de: cálculo diferencial y cálculo integral, así como los símbolos de derivada y el símbolo de laintegral.1
Las funciones son probablemente el concepto matemático más utilizado: la posición de la tierra en su órbita alrededor del sol, el producto interior bruto de un país a lo largo del año o la cantidad de números primos menores que un determinado valor son conceptos que se pueden explicar con funciones. Una función es simplemente una "máquina" (o una regla) que asigna a un elemento de un conjunto(el input, o entrada) un único elemento de otro conjunto (la salida). El ejemplo más evidente es el de una función que transforma un número en otro.
La derivada de una función nos dice cómo varía la salida de una función cuando variamos la entrada. Si la derivada es muy grande el valor de la función cambiará mucho si cambiamos un poco la entrada. La derivada de la función f(x) en el punto x sedenota como f'(x).2
Los historiadores de las matemáticas han concluido que el trabajo de Newton fue anterior al de Leibniz, pero que este último obtuvo sus resultados de una manera independiente a Newton. Se sabe, sin embargo, que ambos tuvieron la influencia de Barrow, quien se considera el matemático que había llegado más lejos en la comprensión de que la derivada y la integral tenían una...