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Fórmula o Polinomio de Newton:

El polinomio de LaGrange se aproximará al valor de la función para cualquier valor de x pero será exacto para los puntos : x = xo , x = x1 , x = x2 , ... , x = xn ,es una condición que pase por estos puntos, esto permite evaluar los coeficientes.

Si se evalúa la función para x = xo , el polinomio de aproximación será :

f (xo) = a0 + a1 * (xo-xo) + a2 *(xo-xo)*(xo-x1) + a3 * (xo-xo)* (xo-x1)*(xo-x2) + ...

por lo tanto a0 = f (x0 ) .

Si se evalúa el polinomio para x = x1 , se obtiene la siguiente expresión :
 

f (x1) = a0 + a1 *(x1-xo) | Note que en el polinomio de Lagrange todos los términos que poseen 
el factor (x - x1) serán ceros si x es igual x1 . |
De esta última expresión,
a1 = ( f (x1 ) - ao ) / (x1-xo ) y como a0 = f(x0 ), entonces
 

| a la cual se le denomina Primera Diferencia Finita Dividida, cuya notación es f[xo , x1 ] , evaluada a partir de x0 |
Similarmente, evaluando la función para x = x2 ,f (x2 ) = a0 + a1 * (x2-xo ) + a2 * (x2-xo)*(x2-x1 ) + cero ,

Substituyendo a1 y a0 ,

| Esta corresponde a la definición de Primera DiferenciaFinita Dividida, en este caso esta primeradiferencia se está evaluando en el punto base x1 y se le denomina f[x1 ,x2 ] . |

| También corresponde a la definición de Primera DiferenciaFinita Dividida, x1 - x0 en este caso, evaluada en el puntobase x0 . Le denominaremos f[x0 ,x1 ] . |

 

Nota: | En esta notación ( f[xk ,xk+1 ] ) el primer argumento es el punto base. El valor de la función para el siguiente argumento se resta a éste ,f (xk ) - f (xk+1 ) y se divide entre la longitud total del intervalo (xk+1 - xk ) . |
Retornando a la expresión para calcular a2 , identificamos que se evalúa como la diferencia de dos primerasdiferencias, una en el intervalo [ x1 , x2 ] y la otra en el intervalo [ x0 , x1 ] , y se divide entre la longitud total de los dos intervalos que participan (x2 - x1 ) + (x1 - x0 ) que es igual a (x2...