Nivel1_2015_Sol

´
XXVII OLIMPIADA COSTARRICENSE DE MATEMATICA
UNA - UCR - TEC - UNED - MEP - MICIT

´ PRIMERA ELIMINATORIA
SOLUCION
NACIONAL

I Nivel
(7◦)
2015

I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on

I Nivel

1. Cinco extranjeros est´
an colocados en fila. El mexicano est´a despu´es del italiano. El argentino
est´a antes del mexicano y justo despu´es del jamaiquino. El jamaiquino no es el primero de la fila
y est´aantes del italiano. Entonces, el costarricense est´a justo antes del
(a) Mexicano
(b) Italiano
(c) Argentino
(d) Jamaiquino
Soluci´
on
Respuesta correcta: opci´
on d.
Por las condiciones, el mexicano est´a despu´es del italiano, argentino y jamaiquino. Luego, el
argentino est´
a justo despu´es del jamaiquino y como el jamaiquino est´a antes del italiano, el
orden hasta el momento es jamaiquino,argentino, italiano y mexicano. Ahora, como el jamaiquino no es el primero, el costarricense tiene que ser el primero y est´a justo antes del jamaiquino.
2. Del conjunto {15, 16, 17, · · · , 99, 100} se extrae un n´
umero al azar. La probabilidad de que el
n´
umero seleccionado tenga alguno de sus d´ıgitos igual a 6 corresponde a
5
43
9
(b)
43
9
(c)
85
18
(d)
85
(a)

Soluci´
on
Respuesta correcta:opci´
on b.
Se cuentan cu´
antos n´
umeros del conjunto tienen alguno de sus d´ıgitos igual a 6, los cuales son
18 y se divide entre el total de n´
umeros en el conjunto que corresponde a 86, por tanto la pro18
9
babilidad es
= .
86
43
3. En una escuela realizar´
an la final del campeonato de futbol; para ello deciden alquilar una cancha.
En esta disponen de dos horarios distintos los lunes yviernes, mientras que los martes, mi´ercoles
y viernes disponen de tres horarios en los que se puede realizar el partido. La probabilidad de
que el partido se lleve a cabo un mi´ercoles es
2
13
3
(b)
13
4
(c)
13
9
(d)
13
(a)

1

I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on

I Nivel

Soluci´
on
Respuesta correcta: opci´
on b.
Como se puede observar, en la cancha cuentan con 13 horarios diferentes para llevar acabo el
partido, de los cuales 3 son el d´ıa mi´ercoles.
Por lo que la probabilidad de que la final se lleve cabo mi´ercoles es de P (a) =

3
13

4. Tres l´ıneas de autobuses que siguen rutas diferentes pasan por el centro comercial cada 12, 15 y
18 minutos. Si los tres estuvieron a las 2:00 p.m. en el centro comercial, ¿a qu´e hora se vuelven
a encontrar nuevamente?
(a) 3:00 pm
(b) 5:00 pm
(c) 7:00pm
(d) 9:00 pm
Soluci´
on
Respuesta correcta: opci´
on b.
Se debe determinar cada cu´
anto se encuentran los buses en el centro comercial. Para esto se
calcula el m´ınimo com´
un m´
ultiplo de 12, 15 y 18, el cual es 180. Esto quiere decir que pasan
por el centro comercial cada 3 horas. Si los tres estuvieron a las 2:00 pm entonces se vuelven a
encontrar nuevamente a las 5:00 pm.
5. Se quierecercar un terreno rectangular que mide 28 metros de ancho por 36 de largo. Para ello
se colocan postes situados a la misma distancia uno del otro. Si en cada una de las esquinas del
terreno se coloca un poste, entonces el n´
umero m´ınimo de postes que se deben colocar es
(a) 8
(b) 16
(c) 32
(d) 34
Soluci´
on
Respuesta correcta: opci´
on c.
Para determinar la distancia en que se deben ubicar lospostes calculamos el m´aximo com´
un
divisor de 28 y 36 el cual es 4.Por lo tanto en cada lado del terreno que mide 36 metros hay que
colocar 8 postes (sin contar los dos de las esquinas) y en cada lado que mide 28 hay que colocar
6 (sin contar los dos de las esquinas). En total hay que colocar 2 · 8 + 2 · 6 + 4 = 32 postes.

2

I Eliminatoria 2015 - Soluci´
on

I Nivel

6. ¿Cu´antos n´
umeros imparesmenores a 500 al ser divididos por 3, por 4 y por 5 dejan residuo 1?
(a)
(b)
(c)
(d)

5
8
36
60
Soluci´
on

Respuesta correcta: Ninguna
Si al dividir un n´
umero impar por 3, 4 y 5 deja residuo 1, entonces su antecesor debe ser m´
ultiplo
de 3, 4 y 5. Dado que 3, 4 y 5 no tienen divisores en com´
un entonces cualquier m´
ultiplo com´
un
a ellos debe ser un m´
ultiplo de 3 · 4 · 5 = 60....