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Universidad de San Carlos de Guatemala
Fac. de Ingenier´ Esc. de Ciencias
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Departamento de Matem´tica
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Curso: Matem´tica B´sica 1
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Jefa de ´rea: Inga. Silvia Hurtarte
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Elaborado por: J. C. Bonilla

—proyecto # 1, entrega: 13 de marzo—
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ALGEBRA Y GEOMETR´
IA

Elaboraci´n del informe
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En cada secci´n de Matem´tica B´sica 1, el catedr´tico y su auxiliar decidir´n si elinforme es individual
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o en grupos peque˜os. Ellos pueden adem´s solicitar condiciones especiales en la entrega de dicho informe,
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como la elaboraci´n de una introducci´n, o un comentario, por decir algunas. En cualquier caso, debe
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ser entregado en hojas en blanco, tama˜o carta, y las soluciones de los problemas escritas a mano. Se
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except´an algunos incisos, quedeben ser elaborados en Mathematica o Geogebra, seg´n se indique.
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En caso de que la entrega en su secci´n sea en grupo, deben colaborar todos los integrantes de manera
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justa. Se debe elaborar una tabla que indique qu´ inciso fue resuelto por cu´l integrante, y no se permite
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que un estudiante se dedique exclusivamente a las gr´ficas, sino que la letra de todos los miembros
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debeaparecer en el informe.

Problemas a resolver
Cuando un polinomio es cuadr´tico, tenemos a nuestra disposici´n la f´rmula general cuadr´tica para
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calcular las ra´
ıces. Variaciones de esta f´rmula eran conocidas por matem´ticos chinos, griegos e hind´es
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incluso varios siglos antes de Cristo. Una f´rmula an´loga para resolver polinomios c´bicos fue descubierta
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u(aparentemente) por Scipione del Ferro, y la f´rmula cu´rtica fue propuesta por Ludovico Ferrari en
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el siglo XVI. Despu´s de esto, por mucho tiempo no se encontraron f´rmulas superiores hasta que el gran
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matem´tico noruego Niels Henrik Abel demostr´ en 1823 que no existen otras f´rmulas generales, para
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polinomios de grado 5 o mayor.
A´n conociendo de la existencia def´rmulas para el grado 3 y 4, con frecuencia no resulta pr´ctico utiu
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lizarlas debido a la exagerada complicaci´n de ellas. Nuestro primer problema tratar´ sobre un polinomio
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particular en el cual las t´cnicas usuales parecen no funcionar, a menos que usemos nuestro ingenio.
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1

Considere el polinomio P (x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) − 5. Queremos hallar todas sus ra´
ıces,
estoes, todas las soluciones de la ecuaci´n (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 5.
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a En Mathematica, utilice el comando Expand[] para expandir el polinomio e imprima el comando
y su resultado. Observe que no parece posible factorizarlo por los m´todos que le son familiares.
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ıces, y lleve a cabo el prob A mano, use la regla de los signos de Descartes para clasificar las ra´
cedimiento paradeterminar los posibles ceros racionales. Verifique cada uno de los candidatos,
sustituy´ndolos en el polinomio. ¿Cu´ntos ceros racionales posee?
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a

c En Mathematica, utilice el comando Solve[] para hallar todas las ra´ 1 (imprima los resulıces
tados). Diga cu´ntos ceros son reales y cu´ntos no lo son. La sintaxis del comando es:
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a
Solve[ ecuaci´n , variable a despejar ]
o
Despu´s de ello,utilice la siguiente variaci´n del comando para que Mathematica s´lo reporte
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los ceros racionales. Las palabras que no est´n en cursivas deben ser ingresadas de manera
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literal como se muestra.
Solve[ ecuaci´n , variable a despejar , Rationals ]
o
¿Concuerda con el resultado que usted obtuvo a mano? Finalmente use NSolve[] con la misma
sintaxis para reportar los ceros en formatodecimal. Adem´s, en lugar de Rationals, use la
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opci´n Reals para reportar unicamente los ceros reales.
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o
d Ahora llevaremos a cabo un procedimiento ingenioso, para poder resolver la ecuaci´n a mano.
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Sustituya x = w − 2 en la ecuaci´n dada en el enunciado inicial. No expanda, solamente
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simplifique dentro de cada factor y diga qu´ tipo de productos notables se formaron. Use
e...