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SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS
Un par ordenado de números reales ( x0 , y0 ) lo podemos representar en el plano en un sistema
de coordenadas cartesianas o rectangulares o plano xy. Este sistema está constituido por dos rectas
perpendiculares orientadas, llamadas ejes coordenadas y la intersección de ellas se llama origen. En la
figura el eje horizontal es llamado eje x y el ejevertical es el eje y. Estos ejes dividen al plano en cuatro
partes llamadas primer, segundo, tercer y cuarto cuadrante, denotados por

I,

II ,

III ,

IV

respectivamente.

Como ya hemos dicho un par ordenado de números reales ( x0 , y0 ) lo podemos representar
mediante un punto P en este plano. El número x0 se llama abscisa o coordenada x del punto y el
número y0 se conoce como laordenada o coordenada y del punto. Para graficar se procede como
sigue. Se localiza el número x0 en el eje (real) x y se traza una perpendicular al eje, igual se procede
con el número y0 en el eje y. La intersección de estas dos rectas es un punto en el plano xy y es la
representación del par ( x0 , y0 ) . Recíprocamente, podemos ver que cada punto P en el plano representa
a un par de númerosreales ordenados.

Ejemplo 1.- Represente en el plano cartesiano los puntos (-2,1); (-4,-2); (0,-1); (2,-3) y (5,0).
Solución:

2

DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS
A continuación vamos a mostrar cómo calcular la distancia entre dos puntos P ( x1 , y1 ) y
1
.
P2 ( x2 , y2 )
En la figura podemos ver como formamos un triángulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa
es el valor a calcular.Observe que los catetos se pueden calcular al conocer las coordenadas de los dos
puntos.

Usando el Teorema de Pitágoras
obtenemos la fórmula de distancia entre dos
puntos:

d ( P1 , P2 ) = ( x2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2

Ejemplo 1.- Representar gráficamente los puntos P1(-2,1)
y P2(3,-4) y calcular la distancia entre estos dos puntos.
Solución: Por la fórmula de distancia entre dos
puntostenemos

d ( P1 , P2 ) = (3 − (−2)) 2 + (−4 − 1) 2

= (5) 2 + (−5) 2
= 25 + 25
=5 2

Comentario.- Es claro, por el propio concepto de distancia, que la distancia de P1 a P2 es la misma
que de P 2 a P 1 . Analíticamente podemos verificar que
d (P1 , P2 ) = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 =

(x1 − x2 )2 + ( y1 − y 2 )2

= d (P2 , P1 )

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO DE RECTA
En estasección se quiere mostrar la fórmula para las coordenadas PM(xM,yM) del punto medio
del segmento que une los puntos P ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) .
1
PM está en la mitad entre P1 y P2. Del
dibujo podemos apreciar que xM, también está en
la mitad entre x1 y x2 . Este resultado lo
podemos deducir a través de la semejanza entre
los triángulos P1AP2 y PMBP2.

3

La distancia entre xM y x1 es( x 2 − x1 )
. Así
2

( x 2 − x1 )
unidades más allá de x1 .
2
( x − x1 )
Esto es x M = x1 + 2
.
2
Realizando la suma y simplificando queda:
x + x2
xM = 1
2

xM está

Igualmente podemos verificar que
yM =

y1 + y 2
2

Es decir: las coordenadas del punto medio es el promedio de las coordenadas.
En conclusión
⎛ x + x 2 y1 + y 2 ⎞
(xM , yM ) = ⎜ 1
,
⎟
2⎠
⎝2
Ejemplo2.- Calcular el punto medio del segmento de recta que une a P1(2,1) y P2(-2,-3).
d ( P1 , P2 )
Compruebe que d ( P1 , PM ) =
2
Solución:

⎛ 2 + (−2) 1 + (−3) ⎞
,
(xM , yM ) = ⎜
⎟
2⎠
2
⎝

= (0,−1)
d ( P1 , P2 ) = (−2 − 2) 2 + (−3 − 1) 2 = 4 2

d ( P1 , PM ) = (2 − 0)2 + (1 − (−1))2 = 8 = 2 2
Efectivamente
d ( P1 , P2 )
42
d ( P1 , PM ) =
, pues 2 2 =
.
2
2

Ejercicio dedesarrollo.- Calcular el punto medio del segmento de recta que une a los puntos P1(3,1)
y P2(0,-4). Compruebe que d ( P1 , PM ) = d ( P2 , PM )

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EJERCICIOS
1) Represente en el plano cartesiano los puntos (-2,1); (-4,-2); (0,2); (2,-3) y (5,0).
2) Representar gráficamente los puntos: P1(-2,1) y P2(3,-4) y calcular la distancia entre estos dos
puntos.
3) Representar gráficamente los...