No se

INECUACIONES CON VALOR
ABSOLUTO

Propiedades :

Para cualquier número real “X” y cualquier número
positivo “a” :

1) │ X │ < a a < X < a (también se
cumple para ≤). Se puede decir que la
desigualdad queda dividida en dos partes : En
la primera se “elimina” el módulo de valor
absoluto y se mantiene lo demás igual
(X < a), y en la segunda se “elimina” el módulode valor absoluto, se cambia el sentido de la
desigualdad y el signo del miembro de la
derecha ( X > -a ), la solución viene dada por la
INTERSECCIÓN de las dos soluciones
parciales.

2) │ X │ > a X > a U X < - a (también
se cumple para ≥). Se puede decir que la
desigualdad queda dividida en dos partes : En
la primera se “elimina” el módulo de valor
absoluto y se mantienelo demás igual
(X > a), y en la segunda se “elimina” el módulo
de valor absoluto, se cambia el sentido de la
desigualdad y el signo del miembro de la
derecha ( X < - a ), la solución viene dada por
la UNIÓN de las dos soluciones parciales.

3) │X │ < │a │ X
2
< a
2
(también se
cumple para >, ≥ y ≤). La solución se
encuentra aplicando los métodos de resolución
de unainecuación cuadrática o de segundo
grado.

4) │ X │ < – a Representa al conjunto vacío
(también se cumple para ≤)
EJERCICIO 1 : Resolver │4X – 1 │ ≤ 3

Para resolver esta inecuación con valor absoluto se divide la misma en
dos partes (Propiedad 1) :

La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor
absoluto (4X – 1 ≤ 3) y en la segunda se cambiará el sentidodel signo
de la desigualdad y el signo del segundo miembro (4X – 1 ≥ – 3)

La solución total será la INTERSECCIÓN de las dos soluciones parciales
(Propiedad 1) :

Resolviendo la primera parte: 4X – 1 ≤ 3

4X ≤ 3 + 1 ; 4X ≤ 4 ; X ≤


; X ≤ 1

///////////////////////////////////////////////////////////////
– ∞

1

+ ∞

Resolviendo la segunda parte: 4X – 1 ≥– 3

4X ≥ – 3 + 1 ; 4X ≥ – 2 ; X ≥


; X ≥ – 0,5

//////////////////////////////////////////////////////////////////
– ∞

-0,5

+ ∞



Solución Total

En forma gráfica:


//////////////////////
– ∞

-0,5

1 + ∞
En forma de intervalo:

X = [ – 0.5 , 1 ]
INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO Ing. José Luis Albornoz Salazar - 3 -

En formade conjunto:

X = { X Є R ⁄ – 0.5 ≤ X ≤ 1 }


¿Como comprobar estos resultados?

Se escoge un valor cualquiera en cada uno de los intervalos y se
introduce en la inecuación inicial y se comprueba si cumple o no de
acuerdo a la solución obtenida.

En este ejercicio la solución fue :


//////////////////////
– ∞

-0,5

1 + ∞


Escojo el valor X = –1 queestá al lado izquierdo de “-0,5” (NO debe
cumplir con la desigualdad) y lo introduzco en la inecuación :

│4X – 1 │ ≤ 3 ; │4(-1) – 1 │ ≤ 3 ; │– 4 – 1 │ ≤ 3

│– 5 │ ≤ 3 : 5 ≤ 3 (esto es falso, se demuestra que NO cumple)


Escojo el valor X = 0 que está entre “-0,5” y “1” (debe cumplir con la
desigualdad) y lo introduzco en la inecuación :

│4X – 1 │ ≤ 3 ; │4(0) – 1 │ ≤ 3 ; │0– 1 │ ≤ 3

│– 1 │ ≤ 3 : 1 ≤ 3 (esto es cierto, se demuestra que SI cumple)


Escojo el valor X = 2 que está al lado derecho de “1” (NO debe cumplir
con la desigualdad) y lo introduzco en la inecuación :

│4X – 1 │ ≤ 3 ; │4(2) – 1 │ ≤ 3 ; │8 – 1 │ ≤ 3

│7 │ ≤ 3 : 7 ≤ 3 (esto es falso, se demuestra que NO cumple)
EJERCICIO 2 : Resolver │2X + 3 │ > 5

Para resolver estainecuación con valor absoluto se divide la misma en
dos partes (Propiedad 2) :

La primera parte será la misma inecuación sin el módulo de valor
absoluto ( 2X + 3 > 5 ) y en la segunda se cambiará el sentido del
signo de la desigualdad y el signo del segundo miembro ( 2X + 3 < –5 ).

La solución total será la UNIÓN de las dos soluciones parciales, es decir
la solución de la primera...