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TALLER 2: Longitud de Arco y M´etodo de Montecarlo para aproximar Integrales.
1. Introduccio´n.
En este taller primero aproximaciones num´ericas al c´alculo de longitud de arco y la impor- tanciadel taman˜o de muestra, luego veremos un m´etodo para aproximar a´reas y volu´menes muy diferente a los vistos en en taller 1. Relaciona azar con cantidades. Adema´s, debe implementar un co´dido enOctave (Freemat y MatLab esta´n permitidos), que les permita resolver lo requerido:
2. Previo
1. Investigue y explique como se obtiene la defunci´on para la integral de arco de forma anal´ıtica.
2.Investigue y explique brevemente en que consiste el m´etodo de montecarlo para aproximar a´reas y volumenes.
3. Longitud de Arco
Dado que
Z
p1 + (f0(x))2dx ∼ X
i
p(∆xi)2 + (∆y(xi))2.
Usando lossiguientes valores para la discretizacio´n: N = {2,5,10,20,30,60,100,200} apro- xime la longitud de arco para:
1. y1(x) = x2 en el intervalo [0 5].
2. y2(x) = sin(30πx) en el intervalo [0 2].Compare con valores reales y comente. ¿Por qu´e aparecen esos resultados para y2(x) ? Nota: Dado un valor de N, los valores de xi quedan definidos por xi = a + i ·
b − a N
.
Calculo Integral P´ag. 1
4.Montecarlo.
4.1. Estimando π.
1. Inscribir un c´ırculo en un cuadrado de lado 2. El radio del circulo sera´ 1.
2. Suponga que no conoce el valor de π, pero sabe que el ´area del c´ırculo se puedeexpresar como A = πr2.
3. Construya N = 10 puntos (x,y) al azar (rand(10,2)) y calcule que proporci´on estan dentro del c´ırculo (a una distancia menor a 1 al centro de este). Estime el a´rea.
4.Repita el paso anterior para los siguientes valores de N:
a) 20
b) 50
c) 100
d) 1000
e) 10000
5. Repita nuevamente con 4 valores ma´s de N elegidos por usted.
6. Grafique la aproximacio´n de π enfunci´on de N y comente.
4.2. Estimando Volumen.
Dado el volumen generado al girar en torno al eje y el ´area encerrada por:
1. x = 4 − (y − 2)2
2. x = 0
Use el m´etodo de Montecarlo para estimar...