Notas GM I 2013

Facultad de Ciencias, UNAM

Geometría Moderna I
Notas de clase
Ma. Guadalupe Lucio Gómez Maqueo
Febrero 2013

La intención de estas notas es la de servir para el curso de Geometría Moderna I. En
ellas se abordan algunos aspectos históricos del desarrollo de la geometría elemental y
sus conceptos básicos.
Al impartir este curso se ha observado que cuando se abordan los temas elementales degeometría como un repaso de lo visto por los estudiantes en cursos anteriores, les
resulta poco interesante e incluso prestan poca atención considerando que es algo que
ya saben, sea cierto o no.
Es por ello que se han desarrollado estas notas en las que se ofrecen algunos
antecedentes históricos y con un enfoque basado en construcciones geométricas, que
supone permitirá revisar estos temas elementales,pero en una forma que se espera
resulte más atractiva para los estudiantes.
Ya que el tema es muy extenso, se incluyen ejercicios que complementan el texto, por lo
que se recomienda al lector que los lleve a cabo, ya que los resultados propuestos en
ellos forman parte la experiencia geométrica proyectada para el estudiante.
La primera versión de estas notas fue realizada en agosto de 2010.Agradezco a los
estudiantes de los cursos anteriores sus observaciones que han permitido ir puliendo las
mismas.
Las figuras, con excepción de las gráficas de las funciones trigonométricas, fueron
generadas con el programa GeoGebra, programa con Licencia Pública General de GNU.

1. Conceptos básicos
1.1. La Geometría prehelénica
Se ha dicho que el desarrollo de la ciencia es una sucesión de preguntas yproblemas y de las propuestas de respuesta o solución a los mismos.
Las preguntas y problemas cambian a través de la historia y las respuestas o
soluciones que se formulan evolucionan de acuerdo con el conocimiento
disponible en ese momento.

A nuestro alrededor, la naturaleza toma
una infinidad de formas. La capacidad del
ser humano para descubrirlas, para
abstraerlas y para buscar soluciones adiversos problemas sobre las formas, es lo
que impulsó el desarrollo de la geometría .

Una de las formas que se presenta
con mayor frecuencia en la
naturaleza es la esfera, cuerpo
geométrico en el cual los puntos de
su superficie equidistan de un punto
fijo.
Se denomina cono a toda superficie
conformada por un conjunto de rectas
que tienen un punto común llamado
vértice
y
que
intersecan
a
unacircunferencia que no está en el
mismo plano. Los conos son superficies
regladas ya que se pueden generar por
una recta que se desplaza sobre un
círculo

Los volcanes generalmente son de
forma cónica que es modelada por la
presión del magma así como de la
acumulación
de
material
de
erupciones anteriores.

Otra de las formas que se encuentran
frecuentemente en la naturaleza es la
espiral. Una espiral esuna curva plana
que da vueltas alrededor de un punto y
que en cada vuelta se aleja más del
punto.

Otra forma muy presente en la
naturaleza es el círculo, figura
geométrica
plana
cuyos
puntos
equidistan de un punto fijo. Una
característica del círculo es que entre
todas las curvas cerradas en el plano que
encierran un área fija, el círculo es el de
menor perímetro.

Esto es, la espiral es unacurva plana
generada por un punto que se va alejando
progresivamente del centro a la vez que
gira alrededor de él.

Ilustración 1.1

Es por ello, que para el estudio de la ciencia, y en nuestro caso de la
geometría, hacer algunas referencias sobre su desarrollo histórico parece
obligado.
La vieja definición de las matemáticas como la “ciencia del número y la
magnitud”, no corresponde ya con sucarácter y desarrollo actual, pero nos
permite ver cuáles fueron sus inicios.
La geometría, de acuerdo con el origen mismo de su nombre, surge para
resolver una serie de problemas prácticos y en su forma más elemental, se
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ocupa de problemas métricos como el cálculo del área y perímetro de figuras
planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos
En esta sección no se pretende dar un panorama...