NUMERO AUREO
Páginas: 9 (2200 palabras)
Publicado: 23 de mayo de 2014
Numero Áureo
Este artículo trata sobre un número algebraico (no astronómico). Para otros usos de este término, véase Áureo
El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,1 razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción [cita requerida]) representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula), en honor al escultorgriego Fidias, es un número irracional:
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.
También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),3 por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con laletra Fi (Φ,φ) es más común.
Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta; o sea, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricascomo en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño dediversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
Definición:
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.Escrito como ecuación algebraica:
Siendo el valor del número áureo φ el cociente
Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.
Cálculo del valor del número áureo.
Dos números a y b estánen proporción áurea si se cumple:
Si es igual a entonces la ecuación queda:
Multiplicando ambos miembros por , obtenemos:
Igualamos a cero:
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .
Propiedades y representaciones
Ángulo de oro
Razón número áureo
Propiedades aritméticas
es el único númeroreal positivo tal que:
La expresión anterior es fácil de comprobar:
φ posee además las siguientes propiedades:
Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.
El caso más simple es: , cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente deorden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma
,
Donde es cualquier número real o complejo y que es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es , y .
Pero podemos «saltar» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
. Aquí , , , y .
Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores,también hay una fórmula recurrente de orden 6:
En general:
.
En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de corresponde a una...
Este artículo trata sobre un número algebraico (no astronómico). Para otros usos de este término, véase Áureo
El número áureo o de oro (también llamado razón extrema y media,1 razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción [cita requerida]) representado por la letra griega φ (phi) (en minúscula) o Φ (Phi) (en mayúscula), en honor al escultorgriego Fidias, es un número irracional:
El número áureo surge de la división en dos de un segmento guardando las siguientes proporciones: La longitud total a+b es al segmento más largo a, como a es al segmento más corto b.
También se representa con la letra griega Tau (Τ τ),3 por ser la primera letra de la raíz griega τομή, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con laletra Fi (Φ,φ) es más común.
Se trata de un número algebraico irracional (su representación decimal no tiene período) que posee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad, no como una expresión aritmética sino como relación o proporción entre dos segmentos de una recta; o sea, una construcción geométrica. Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricascomo en la naturaleza: en las nervaduras de las hojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de un caracol, en los flósculos de los girasoles, etc.
Asimismo, se atribuye un carácter estético a los objetos cuyas medidas guardan la proporción áurea. Algunos incluso creen que posee una importancia mística. A lo largo de la historia, se ha atribuido su inclusión en el diseño dediversas obras de arquitectura y otras artes, aunque algunos de estos casos han sido cuestionados por los estudiosos de las matemáticas y el arte.
Definición:
El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sí dos segmentos de recta a y b (a más largo que b), que cumplen la siguiente relación:
La longitud total es al segmento a, como a es al segmento b.Escrito como ecuación algebraica:
Siendo el valor del número áureo φ el cociente
Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor.
Cálculo del valor del número áureo.
Dos números a y b estánen proporción áurea si se cumple:
Si es igual a entonces la ecuación queda:
Multiplicando ambos miembros por , obtenemos:
Igualamos a cero:
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:
que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .
Propiedades y representaciones
Ángulo de oro
Razón número áureo
Propiedades aritméticas
es el único númeroreal positivo tal que:
La expresión anterior es fácil de comprobar:
φ posee además las siguientes propiedades:
Las potencias del número áureo pueden expresarse en función de una suma de potencias de grados inferiores del mismo número, establecida una verdadera sucesión recurrente de potencias.
El caso más simple es: , cualquiera sea n un número entero. Este caso es una sucesión recurrente deorden k = 2, pues se recurre a dos potencias anteriores.
Una ecuación recurrente de orden k tiene la forma
,
Donde es cualquier número real o complejo y que es un número natural menor o igual a n y mayor o igual a 1. En el caso anterior es , y .
Pero podemos «saltar» la potencia inmediatamente anterior y escribir:
. Aquí , , , y .
Si anulamos a las dos potencias inmediatamente anteriores,también hay una fórmula recurrente de orden 6:
En general:
.
En resumen: cualquier potencia del número áureo puede ser considerada como el elemento de una sucesión recurrente de órdenes 2, 4, 6, 8,..., 2k; donde k es un número natural. En la fórmula recurrente es posible que aparezcan potencias negativas de, hecho totalmente correcto. Además, una potencia negativa de corresponde a una...
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