Numero Complejo
Páginas: 5 (1108 palabras)
Publicado: 23 de octubre de 2011
NUMERO COMPLEJO
Expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es Á. Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas. En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. El número i aparece explícitamente en la ecuación deonda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo. El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión.
HISTORIA
Los números complejos aparecieron al buscar soluciones para ecuaciones como x2 = -1. No existe ningún número real x cuyo cuadrado sea-1, por lo que los matemáticos de la antigüedad concluyeron que no tenía solución. Sin embargo, a mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como
El matemáticosuizo Leonhard Euler introdujo el moderno símbolo i para Á en 1777 y formuló la expresión
que relaciona cuatro de los números más importantes en matemáticas. El matemático alemán Carl F. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. En 1825, continuando con elestudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja.
PROPIEDADES En un número complejo a + bi, a se conoce como la parte real y b como la parte imaginaria. El número complejo -2 + 3i tiene parte real -2 y parte imaginaria 3. La adición de números complejos se realizasumando las partes reales e imaginarias por separado. Por ejemplo, para sumar 1 + 4i y 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuación las partes imaginarias 4 y -2, dando el número complejo 3 + 2i. La regla general para la adición es
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
La multiplicación de números complejos se basa en que i • i = -1, y en asumir que esta operación es distributivarespecto de la adición. Esto genera la siguiente regla para la multiplicación:
(a + bi)•(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Utilizando esta regla se tiene, por ejemplo, que
(1 + 4i)•(2 - 2i) = 10 + 6i
Si z = a + bi es un número complejo cualquiera, el complejo conjugado de z es
y el valor absoluto o módulo de z es
Así, el conjugado de 1 + 4i es 1 - 4i y su módulo es
Una relaciónfundamental entre el valor absoluto y el complejo conjugado es que
EL PLANO COMPLEJO
De la misma manera que los números reales se pueden representar como puntos de una línea, los números complejos se pueden representar como puntos de un plano. El número complejo a + bi es aquel punto del plano con coordenada x igual a la parte real a, y coordenada y igual a la parte imaginaria b. Loscomplejos 1 + 4i y 2 - 2i aparecen en la figura 1 y corresponden a los puntos (1,4) y (2,-2) del plano. En 1806, el matemático francés Jean-Robert Argand representó geométricamente los números complejos como puntos del plano, por lo que la figura 1 es conocida como diagrama de Argand. Si un número complejo se considera como un vector que une el origen y el punto correspondiente, la adición de númeroscomplejos es igual a la suma corriente de vectores. La figura 1 muestra el número complejo 3 + 2i obtenido al sumar los vectores 1 + 4i y 2 - 2i.
Dado que los puntos del plano se pueden definir en función de sus coordenadas polares r y è (véase Sistema de coordenadas), todo número complejo z se puede escribir de la forma
z = r (cos è + i sen è)
donde r es el módulo de z o distancia del punto...
Expresión de la forma a + bi, en donde a y b son números reales e i es Á. Estos números se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir, y forman una estructura algebraica de las llamadas cuerpo en matemáticas. En física e ingeniería los números complejos se utilizan para describir circuitos eléctricos y ondas electromagnéticas. El número i aparece explícitamente en la ecuación deonda de Schrödinger que es fundamental en la teoría cuántica del átomo. El análisis complejo, que combina los números complejos y los conceptos del cálculo, se ha aplicado a campos tan diversos como la teoría de números o el diseño de alas de avión.
HISTORIA
Los números complejos aparecieron al buscar soluciones para ecuaciones como x2 = -1. No existe ningún número real x cuyo cuadrado sea-1, por lo que los matemáticos de la antigüedad concluyeron que no tenía solución. Sin embargo, a mediados del siglo XVI, el filósofo y matemático italiano Gerolamo Cardano y sus contemporáneos comenzaron a experimentar con soluciones de ecuaciones que incluían las raíces cuadradas de números negativos. Por ejemplo, Cardano sugirió que el número real 40 se puede expresar como
El matemáticosuizo Leonhard Euler introdujo el moderno símbolo i para Á en 1777 y formuló la expresión
que relaciona cuatro de los números más importantes en matemáticas. El matemático alemán Carl F. Gauss, en su tesis doctoral de 1799, demostró su famoso teorema fundamental del álgebra, que dice que todo polinomio con coeficientes complejos tiene al menos una raíz compleja. En 1825, continuando con elestudio de las funciones complejas, el matemático francés Augustin L. Cauchy generalizó el concepto de integrales definidas de funciones reales para funciones de variable compleja.
PROPIEDADES En un número complejo a + bi, a se conoce como la parte real y b como la parte imaginaria. El número complejo -2 + 3i tiene parte real -2 y parte imaginaria 3. La adición de números complejos se realizasumando las partes reales e imaginarias por separado. Por ejemplo, para sumar 1 + 4i y 2 - 2i se suman las partes reales 1 y 2, y a continuación las partes imaginarias 4 y -2, dando el número complejo 3 + 2i. La regla general para la adición es
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
La multiplicación de números complejos se basa en que i • i = -1, y en asumir que esta operación es distributivarespecto de la adición. Esto genera la siguiente regla para la multiplicación:
(a + bi)•(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i
Utilizando esta regla se tiene, por ejemplo, que
(1 + 4i)•(2 - 2i) = 10 + 6i
Si z = a + bi es un número complejo cualquiera, el complejo conjugado de z es
y el valor absoluto o módulo de z es
Así, el conjugado de 1 + 4i es 1 - 4i y su módulo es
Una relaciónfundamental entre el valor absoluto y el complejo conjugado es que
EL PLANO COMPLEJO
De la misma manera que los números reales se pueden representar como puntos de una línea, los números complejos se pueden representar como puntos de un plano. El número complejo a + bi es aquel punto del plano con coordenada x igual a la parte real a, y coordenada y igual a la parte imaginaria b. Loscomplejos 1 + 4i y 2 - 2i aparecen en la figura 1 y corresponden a los puntos (1,4) y (2,-2) del plano. En 1806, el matemático francés Jean-Robert Argand representó geométricamente los números complejos como puntos del plano, por lo que la figura 1 es conocida como diagrama de Argand. Si un número complejo se considera como un vector que une el origen y el punto correspondiente, la adición de númeroscomplejos es igual a la suma corriente de vectores. La figura 1 muestra el número complejo 3 + 2i obtenido al sumar los vectores 1 + 4i y 2 - 2i.
Dado que los puntos del plano se pueden definir en función de sus coordenadas polares r y è (véase Sistema de coordenadas), todo número complejo z se puede escribir de la forma
z = r (cos è + i sen è)
donde r es el módulo de z o distancia del punto...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.