Numeros Complejos

LOS NÚMEROS COMPLEJOS
Definición y operaciones en el conjunto de los números complejos.
Definición. Llamamos conjunto de los números complejos y lo denotamos con la letra C al conjunto de los pares de números reales en el cual definimos las siguientes operaciones:

Suma.
Multiplicación.

En el número complejo llamaremos a la parte real y a la parte imaginaria. Note que la suma yproducto de pares no está definida en .

Dos propiedades que cumplen los pares de números reales y que se mantienen para los complejos son:

Igualdad.
Multiplicación por un escalar. donde .

Ejemplo. Dados y , hallar:
a)
b)
c)

Como los números complejos son pares de números reales podemos efectuar una representación de los mismos mediante el plano (Gráfica 1) En estarepresentación se le dice eje real (Re) al eje de las y eje imaginario (Im) al eje de las .

Gráfica 1: Representación del número complejo .

Podemos considerar que los números reales están contenidos en los números puesto que complejos en el plano el número complejo coincide con el número real . De este modo tenemos cuando . Los números complejos de la forma son llamados imaginarios puros.Vamos a demostrar la propiedad de la multiplicación por un escalar :


Para eso escribimos el número real en la forma y aplicamos la definición de multiplicación:

.

Denotaremos el número complejo con la letra y lo llamaremos unidad imaginaria. Es fácil demostrar que .

Ahora estamos en condiciones de resolver la sencilla ecuación .

Forma binómica de un número complejoSea un número complejo. Entonces podemos escribirlo en la forma:


Pero como y , entonces . En este caso se llama forma binómica o binomia del número complejo.
Suma y multiplicación de números complejos en la forma binómica
, puesto que son todos números reales.
porque .

Ahora observe que los resultados son los mismos que las definiciones de suma y producto dados al inicio; porlo que la realización de las operaciones de suma y multiplicación con números complejos se puede realizar en la forma de pares o en la forma binómica, con la ventaja a favor de la forma binómica que se trabaja con las reglas del álgebra y no es necesario memorizar nada nuevo.

Ejemplo. Si y , halle y .

Conjugado de un número complejo
Si es un número complejo llamaremos conjugado delnúmero z, al número , es decir, al número complejo que tiene la misma parte real que pero la parte imaginaria de signo opuesto.

Ejemplo. Si , entonces y si , entonces .
Módulo y argumento de un número complejo
Sea un número complejo cualquiera. Llamaremos módulo del número complejo , al número real dado por y lo denotaremos por . El módulo se interpreta como la distancia al origen delnúmero (Gráfica 2).

Por otra parte, llamaremos argumento del número complejo , al ángulo comprendido entre el eje y el radio vector que determina a . El argumento de se denota por y se calcula mediante la expresión:
.

Gráfica 2: Módulo y argumento de un número complejo.
Propiedad:

Demostración:

División de números complejos
La división de números complejos se realiza mediante lamultiplicación y división por el conjugado del denominador:

Ejemplo. Dados y , halle: (a) y (b) .
(a) Como entonces
(b) Para hallar multiplicamos y dividimos por el conjugado .

Raíces complejas de la ecuación de segundo grado
Si el discriminante de la ecuación es negativo, debe sustituirse el signo negativo por y de esa forma se obtienen las raíces complejas de la ecuación.Ejemplo. Resolver la ecuación .

Aplicando la fórmula de la ecuación cuadrática:

Se puede ver que el discriminante es lo cual puede escribirse como . Por lo tanto:


Así, las raíces complejas de la ecuación son: y .

Forma trigonométrica o polar de un número complejo
La forma trigonométrica de un número complejo se establece observando el triángulo amarillo de la Figura 3:...