Numeros Complejos
Cada complejo se representa en forma binomial como: z = a + ib a es la partereal del número complejo z, y b es su parte imaginaria. Esto se expresa así: Z = 3 + 4i a = Re (z) = 3 b = Im (z) = 4 • Plano de los números complejos Desde un punto de vista geométrico la recta real (recta que representa el total de números reales) puede ser vista como un subconjunto del plano de los números complejos. Cada número complejo sería un punto en ese plano. Usando las definiciones quesiguen, se hacen posibles la suma, la resta, la multiplicación y la división entre estos puntos. Definiremos cada complejo como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), que verifican las siguientes propiedades: • (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) • (a, b) • (c, d) = (ac - bd, bc + ad). Tal como los hemos definido, los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo,denotado por C (o más apropiadamente por el carácter único de ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales: C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.• Numero complejos conjugados Llamaremos conjugados a dos complejos Z y que tengan sus afijos simétricos con respecto al eje real. Basta cambiar en éste el signo de la parte imaginaria. • En Forma de pares ordenados:
Si Z = (a, b) Entonces: = (a, -b) El conjugado de un complejo z (denotado como ó) es un nuevo número complejo, definido así: Con este número se cumplen las propiedades: Esta últimafórmula es el método elegido para calcular el inverso de un número complejo si viene dado en coordenadas rectangulares. Ejemplo: Z = 3 + 4 i
=3–4i = numero complejo conjugado • Adición de numero complejos La adición de números complejos es una operación binaria tal, que para todo par de complejos (x1, x2), (x3, x4) le hace corresponder el complejo que tiene como primera componente la suma de lasprimeras y como segunda componente la suma de las segundas. O sea: (x1, x2) + (x3, x4) = (x1 + x3, x2 + x4). En Forma Binómica: Es decir, se suman algebraicamente entre sí por separado sus partes reales y sus partes imaginarias. Ejemplo: • Dados Z1 = a1 + b1i y Z2 = a2 + b2i
Z1 + Z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2) i (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d) i (2 - 3i) + (−3 + i) = (2 - 3) + i (−3 +...
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