Numeros Complejos

Laboratorio de Simulación
Trimestre 08P Grupo CC03A Lección 4 Pablo Lonngi

Números Complejos. IIª parte.
Representación polar de un complejo
En la forma polar, llamada también forma trigonométrica, un número complejo se expresa con los números reales r, , los cuales pueden escribirse juntos como r,  o como r. De la figura que ubica a un vector complejo en el plano, se obtienen lasrelaciones entre componentes rectangulares y polares.

Las coordenadas cartesianas x, y forman los catetos de un triángulo rectángulo que hace el ángulo  en el origen entre el vector y la dirección positiva del eje de las abscisas, y la hipotenusa del triángulo es de longitud r, el módulo del número complejo. Por consiguiente, suponiendo que conocemos x, y, el número complejo que encoordenadas cartesianas es z  x  iy puede escribirse en forma polar como z  r cos   i sin   r, con r x2  y2 y  dado por cualquiera de las relaciones y y tan   x , cos   x o sin   r r Nótese que para aplicar correctamente la fórmula de la tangente es necesario tener presente el cuadrante del plano complejo en el que se encuentra z, porque al tomar el cociente se pierde la informaciónsobre los signos de cada componente cartesiana. Las distintas posibilidades y los cuadrantes correspondientes están dados en la siguiente tabla: signo x signo y cuadrante    I II III

 IV Las partes real e imaginaria de z son claramente

Rez  x  r cos , Imz  y  r sin  las cuales nos dan la transformación inversa, de la forma polar a la forma rectangular del complejo. La coordenada rde la forma polar del complejo, que es también el módulo del número complejo, es la distancia que separa del origen de coordenadas al punto que lo representa, mientras que el ángulo , que recibe el nombre de argumento del complejo, se toma positivo en sentido contrario a las manecillas del reloj desde el eje real hasta el vector del origen al punto. Nótese que si consideramos un argumento  2k con k cualquier entero, se obtiene el mismo número complejo. Comúnmente se elige a   0, 2 o a   ,  como el intervalo del valor principal del argumento. Basándonos en el significado geométrico del módulo, tenemos que si z y a son dos números complejos cualesquiera, |z  a| representa la distancia entre ellos. Por consiguiente, la expresión |z  a|  const., considerando a a fijo y zvariable, representa una circunferencia con centro en a, mientras que |z  a| const. representa los puntos interiores de un círculo con centro en a. En ambos casos, el radio de la circunferencia es igual al valor de la constante del lado derecho. Estos son ejemplos de lugares geométricos, regiones o curvas en el plano cartesiano que satisfacen expresiones que pueden ser ecuaciones o inecuaciones. Eneste caso, los lugares geométricos "puntos sobre una circunferencia" y "puntos del interior del círculo" están definidos, respectivamente, por medio de las fórmulas |z  a|  const. y |z  a| const.

Fórmula de Euler
La fórmula, identidad o ecuación de Euler es e i  cos   i sin  Se demuestra aplicando la serie de potencias para la función exponencial: 2 3 4 e x  1  x  x  x  x  2!3! 4! haciendo x  i: i 2 i 3 i 4 e i  1  i     2! 3! 4! La serie se separa naturalmente en términos reales e imaginarios al tomar en cuenta que i 2  1, de manera que al agrupar para obtener la parte real e imaginaria de e i , coinciden con las series de potencias para el coseno y el seno de , respectivamente. Esto también se puede hacer, más fácilmente, con la fórmula deltérmino general de las series. Obsérvese que la identidad de Euler establece que e i es un número complejo con módulo unitario. Una aplicación inmediata de la identidad de Euler es que podemos escribir cualquier número complejo z como z  x  iy  re i

El producto y el cociente con la forma polar
Aprovechando la fórmula de Euler, la forma polar proporciona fórmulas muy simples para las...