numeros complejos

Capítulo 1

Números complejos.
1.1.
1.1.1.

Introducción
Necesidad de números no reales

Como se sabe, si x es un número real cualquiera, entonces se tiene x2 0:
(Se trata de la ”
regla de los signos” si x
:
0; entonces x2
0 y, si x
0;
2
también se tiene x
0):
Una consecuencia de ello es que no hay, en R; raíces cuadradas de números
negativos:
Enp
efecto, (escribiendo conuna ligera ambigüedad) si a < 0; para que se
tenga a = x; debería tenerse
x2 = a; entonces, debería tenerse 0
x2 = a < 0; de donde 0 < 0 (en
particular, 0 6= 0).
A pesar de lo anterior y para resolver ecuaciones cúbicas y cuárticas, desde
el siglo XVI los matemáticos venían intentando trabajar con raíces pares de
número negativos. Los cálculos resultaban pero no se sabía por qué; y,preocupados, hablaban de números ”
irreales” ”
, imaginarios” ”
, imposibles” o incluso
”
raíces sofísticas”
.
Nos proponemos aquí dar una solución correcta a este asunto, una que data
de comienzos del siglo pasado, pero en un lenguaje más contemporáneo.
Tal solución es necesaria para desembarazarnos, una vez más, de los peligros
que comporta la ingenuidad:
p
se dice que un número ”
complejo”es a + bi; donde i =
1;
una cuestión natural sería entonces averiguar cuánto vale i2 :
Su pongamos que se propone las alternativas
(
p
2
i2 = p p = p
1
1
(cancelando la raíz con el cuadrado)
i2 =
1
1 = 1 = (1) (invocando una regla de raíces)
y se pregunta cuál de las dos está bien.
1

2

CAPÍTULO 1. NÚMEROS COMPLEJOS.

Habría que contestar, en primer lugar, que no se va aresponder de inmediato, pues la pregunta no está bien hecha, es lo que antiguamente se llamaba
”
pregunta compleja” consta de una a…rmación (”
:
hay una alternativa correcta” seguida de una pregunta (” cuál es ésa - la correcta?” (Un caso análogo
)
¿
).
sería que a alguien se le preguntara ”
¿cuándo vas a dejar de hurtar?” en lugar de
;
responder, la persona reclamaría de la acusación quese le hace, probablemente
gratuita).
En efecto, los dos procedimientos de arriba son incorrectos, ambos están mal
hechos (aun cuando uno de los resultados es correcto).
Vamos entonces a construir un sistema de números C, en el que todo número
negativo tenga raíces pares. Dicho sistema se llamará el sistema de los números
complejos, y tendrá propiedades muy parecidas a las de los númerosreales para
las operaciones de suma y producto, pero ahora se podrá siempre extraer raíz
cuadrada y, en general, raíz n-ésima de cualquier número del sistema.
Queremos que este sistema pueda considerarse una extensión del de los
números reales, es decir, que nuestros conocidos números reales puedan considerarse también números complejos, de manera que, por ejemplo, podamos
seguir contando con lasraíces pares de números positivos. En todo caso, el precio de obtener raíces pares de números negativos, tiene el precio de no poder
seguir trabajando en C con desigualdades como en R:

1.1.2.

El sistema de los números reales

Por lo general, para referirse en conjunto a las propiedades de los números
reales que no involucran desigualdades, se habla del campo de los números reales.
Másprecisamente, con ello queremos decir que R está provisto de dos operaciones +; de modo que se tiene las siguientes propiedades:

R

8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:

8
>
>
>
>
<

clausura : operacion cerrada
conmutatividad
asociatividad
suma
>
>
hay neutro 0
>
>
:
para cada a hay inverso a
suma yproducto fdistributividad
8
> clausura : operacion cerrada
>
>
>
conmutatividad
<
asociatividad
producto
>
>
hay neutro 1
>
>
:
para cada a 6= 0 hay inverso a 1

Vamos entonces a construir el campo C de los números complejos, es decir,
un sistema que tiene exactamente las mismas propiedades que acabamos de
señalar.

1.2. EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS

1.2.
1.2.1.

3...