Numeros Complejos

Introducción
En el conjunto de los números complejos podemos recordar el nacimiento de los diferentes conjuntos numéricos:
a) De modo concreto, para facilitar la resolución de ecuaciones cada vez más complicadas.
b) De modo abstracto, mediante la inclusión de conjuntos conocidos en otros más amplios.
Estos números aparecen en el momento en que diferentes matemáticos buscan fórmulaspara hallar las raíces exactas de polinomios de 2 y 3 grado. Actualmente, los números complejos son utilizados especialmente en el campo de la ingeniería electrónica, la mecánica cuántica y la relatividad espacial.

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Número complejo
El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con laletra i). Los números complejos se utilizan en todos los campos de las matemáticas, en muchos de la física (y notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas, los números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntosdel plano: el plano complejo. La propiedad más importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra, que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas.
Los números complejos son una extensión de los números reales, cumpliéndose que. Los números complejos representan todas las raíces de los polinomios, a diferenciade los reales.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra ordinaria, llamada álgebra de los números complejos, así como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantesde la inteligencia humana. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.

Origen
Un poco de Historia: La resolución de ecuaciones algebraicas ocupó a los matemáticos desde los tiempos de los antiguos egipcios y babilónicos, quienes desarrollaron métodos para resolver ecuaciones lineales y cuadráticas. Estasecuaciones, formuladas verbalmente en aquel entonces y no a través de los símbolos que hoy utilizamos, surgieron de las necesidades prácticas propias de actividades como el comercio y las finanzas por un lado y la agricultura y la medición de terrenos por el otro. El estudio de las ecuaciones lineales del tipo:

Donde y son números naturales, reveló la necesidad de considerar a los númerosenteros negativos para poder asegurar la existencia de una solución en cualquier caso. Por ejemplo, la ecuación:

Exige, para su solución, que se consideren los números negativos. Estos números fueron utilizados en India y China varios siglos antes que en Europa.
Análogamente, las ecuaciones del tipo:

Donde, y son números enteros, muchas veces no tienen solución entera, sino racional; porejemplo:
| Solución: | |

El conjunto de los números naturales se va ampliando así, de manera que, para diferentes tipos de ecuaciones se pueda garantizar la existencia de una solución dentro de los conjuntos 'ampliados':
Si denota el conjunto de los números naturales, denota el conjunto de los números enteros y el conjunto de los números racionales, se tiene:
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Donde el símbolosignifica 'está contenido en':
Ya desde los tiempos de los pitagóricos se reconoció la existencia de números no racionales; cuando se intentó calcular la medida de la diagonal de un cuadrado de lado 1, con el uso del Teorema de Pitágoras.

Se concluyó que, es decir, . Para la gran sorpresa y angustia de muchos, no se pudo encontrar un número de la forma, con y enteros, y, tal que fuese solución...