NUMEROS COMPLEJOS

Els nombres complexos

Els nombres complexos
Forma bionòmica
Definició

Forma polar

z = a + bi, o bé z = (a, b) essent a
la part real i b, la part imaginària.

z = rα essent r el mòdul i α,
l’argument.

a = r · cos α
b = r · sin α

r = z = a 2 + b2

⎛b⎞
⎝ ⎠

α = arctan ⎜ ⎟
a
Oposat

−z = −a − bi

Conjugat

z = a − bi

Representació

Operacions

si z = a + bii

z’ = a’ + b’i

Suma

z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i
z − z’ = (a − a’) + (b − b’)i

Resta

z − z’ = (a − a’) + (b − b’)i

si z = rα i z ' = sβ

Multiplicació

rα ⋅ sβ = ( r ⋅ s )α + β

z · z’ = (aa’ − bb’) + (ab’ + a’ b)i

Divisió

z ' a ' a + b ' b ab '− a ' b
= 2
+ 2
i
z
a + b2
a + b2

Potència

z n = ( rα ) = ( r n )

rα
= ( r / s )α − β
sβ

n

n

nα1
⎛ 1⎞
rα = ( rα ) n = ⎜ r n ⎟
=
⎝ ⎠ α + 2π k
n

( r)
n

α + 2π k
n

k va des de 0 fins n − 1

Què és un nombre complex?
Un nombre complex, z, està format d’una part real, a = Re(z), i una part
imaginària, b = Im(z), i s’escriu a + bi, o bé (a, b).
Un nombre complex és una expressió amb dos sumands: un és un nombre real i
l’altre és un nombre real per una lletra i. Perexemple, z és un exemple de nombre
complex:
z = 3 + 4i
El sumand sense la i es denomina part real, mentre que el nombre que acompanya la
i es denomina part imaginària del nombre complex. En l’exemple anterior, 3 és la
part real i s’indica 3 = Re(z); mentre que 4 és la part imaginària i s’indica 4 = Im(z).
Un nombre complex també es pot escriure en forma de parell ordenat; en l’exemple,
elnombre complex z = 3 + 4i també es pot escriure (3, 4), essent la primera
coordenada la part real, i la segona coordenada, la part imaginària.
Així, doncs, un nombre complex és un nombre format d’una part real, a, i una part
imaginària, b, que s’escriu
a + bi

o bé,

(a, b)

Com es representa un nombre complex?
Per a representar un nombre complex es poden fer servir els eixos de
coordenadescartesianes, l’eix X per a la part real i l’eix Y per a la part
imaginària.
Per a representar un nombre complex es poden fer servir els eixos cartesians, l’eix X
per a la part real (eix real) i l’eix Y per a la part imaginària (eix imaginari). Així, per
exemple, el nombre z = 3 + 4i, o també (3, 4), es representa pel vector següent:

1

Són necessaris els nombres complexos?
Els nombrescomplexos són imprescindibles, ja que permeten que
qualsevol equació polinòmica tingui solució. Per aconseguir-ho, es
requereix que els nombres reals siguin completats amb el denominat
nombre i, el valor del qual és i = −1 .
És fàcil observar que existeixen equacions que no tenen solució real. Per exemple,
l’equació
x2 + 1 = 0
no té solució, ja que si aïllem la x2:
x2 = –1
i no hi ha capnombre real que elevat al quadrat sigui –1, perquè hauria de succeir
que:
x = −1

i ja sabem que no existeix l’arrel quadrada d’un nombre negatiu.
Per a permetre que equacions del tipus anterior també tinguin solució, es completen
els nombres reals afegint l’arrel quadrada de –1, amb la qual cosa obtenim els
nombres complexos. A l’arrel quadrada de –1 se la denomina i:
i = −1

és a diri2 = –1

i, qualsevol nombre complex es pot expressar de la forma:
z = a + bi
Vegem que l’equació anterior té una solució complexa:
x2 = –1
per tant,
x = ± −1 = ± i

És a dir, les solucions de l’equació són +i i –i. Vegem-ho:
i2 + 1 = –1 + 1 = 0
(–i)2 + 1 = –1 + 1 = 0
D’aquesta manera, qualsevol equació polinòmica té una solució complexa.

Com es representen les potències de i?Les potències de i són fàcils de trobar i de representar. N’hi ha prou de
calcular les quatre primeres perquè la resta, a partir de la cinquena
potència de i, i5, es repeteixen cíclicament.
Les potències de i són fàcils de trobar:
i1 = i
i2 = –1
i3 = i2 · i = –i
i4 = (i2)2 = (–1)2 = 1
i5 = i4 · i = i

2

vegem que a partir de i5 es tornen a repetir els valors, és a dir,
i5 = i

i6...