Numeros Complejos

FACULTAD DE ING. ELECTRÓNICA Y MECATRONICA
TEMA: NÚMEROS COMPLEJOS.

Presentado por:

 CHAPA GÁLVEZ, Samuel P.

CURSO PROFESOR SECCION

: : :

Matemática Básica II
Lic. FREDDY ACOSTA, S

373 29-02-11

FECHA DE ENTREGA:

LIMA – PERU 2011-3

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NÚMEROS COMPLEJOS
I. DEFINICIÓN: un numero complejo es un par ordenado de números reales ; es decir donde ‘x’ esla primera componente de ‘y’ es la segunda componente. Notacion: ; x,y Donde x: parte real y: parte imaginaria Es decir : ; m(z) = y ;en

Luego, formaremos un conjunto de números complejos; denotados por: ℂ Ejemplos de números complejos:

II. Se define:

OPERACIONES DEFINIDAS EN ℂ: ;

1) Adición

2) Multiplicación

III.

Representación Geométrica (Plano de Gauss) La representación serealiza en un plano, al cual lo llamaremos plano complejo donde el eje ‘x’ representa al eje de la parte real y el eje ‘y’ al de los imaginarios a dicho plano se le denomina Plano de Gauss Sea ; ;

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IV.

CANTIDADES IMAGINARIA Son aquellos números que resultan de extraer una raíz de índice par a un número real negativo. Así por ejemplo: , , , Donden ; al cuañ denominaremos unidad

De todas estos el mas importante es imaginaria, cuya notación universal es Aplicación:

= 4i Unidad Imaginaria El numero complejo (0,1) es la unidad imaginaria; tiene la particular notación

Teoremas:

  

; ; Propiedades de la potencia entera de las unidades imaginaria:

    


; n

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Números ComplejosEjemplo 1: Calcular Solución:

Ejemplo 2: Reducir Solución:

Luego S =

=1

V.

FORMA CARTESIANA O BINÒMICA DE UN COMPLEJO Teorema; Todo numero complejo z = x + yi. de la forma z=(x,y) es posible escribirlo como

Ejemplo 3: representar en forma binòmica o cartesiana cada uno de los siguientes números complejos dados por sus componentes.

Tipos de Números Complejos; 1) Complejo real opuramente real: Parte imaginaria es cero: 2) Complejo imaginario puro: Su parte real es cero y además su parte imaginaria siempre es diferente es cero: 3) Complejo nulo: Los dos componentes son nulos:

Definiciones 1) Dado el complejo denotado por ; tal que: 2) Dado el complejo denotado por Ejemplo 4: sea Entonces:
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= x+yi se define el conjugado de z

se define el opuesto de z5

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Ejemplo 5: Sea Entonces: Representación geométrica de opuesto. de su conjugado y su

Operaciones de la forma binòmica o cartesiana: 1) Adición de números complejos :

2) Sustracción de números complejos.
Ejemplo 6: sean y

3) Multiplicación de números complejos: Dados los números complejos se tiene:

4) División de números complejos:

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Sean los números complejos habra que multiplicar a , y por

para ejecutar la división con lo cual se obtiene.

Propiedades de potenciación:    VI. MÓDULO O VALOR ABSOLUTO DE UN NÚMERO COMPLEJO Dado ; el modulo o valor absoluto de z es un numero real no negativo denotado por ; tal que

Geométricamente el modulo nos representa la magnitud del radio vector delcomplejo z de origen (0,0) y extremo final el afijo de z. Ejemplo 7: Hallar los módulos de los siguientes complejos: 1) 2) 3)
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Solución: 1) 2) 3) VII. FORMA POLAR O TRIGONOMÉTRICA DE UN NUMERO COMPLEJO Sea Es decir un número complejo diferente del nulo.

De la figura Donde: Entonces ;

;

+

En la representación polar de un complejo, donde elángulo θ se le denomina el argumento de z denotado por ; es decir:

Se observa que θ puede tomar infinitos valores como:

Para evitar este problema se da la siguiente definición:

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Argumento principal de un número complejo De todos los valores de ; elegimos aquel que se encuentraen el intervalo ; a dicho se le denomina argumento principal, cuya...