Numeros Complejos

SUPERFICIES DE RIEMMAN
El desarrollo de la idea de superficie de Riemman comenzó a mediados del siglo XIX de la mano del matemático Bernhard Riemman, con los intentos de extender el dominio de definición de funciones analíticas f: U → C definidas sobre un abierto U del plano complejo.
La extensión maxi mal (extensión analítica) se lograba no sobre el propio plano complejo, sino sobre copias deabiertos del mismo que se solapaban, en lo que hoy día conocemos como variedad compleja de dimensión uno.
Euler y Laplace utilizaron la variable compleja sin preocuparse en su justificación, Cauchy comenzó el estudio de las funciones de variable compleja y Riemman lo completó.
Uno de los problemas que plantean las funciones complejas es que muchas no son inyectivas (esto quiere decir que variosvalores de la variable independiente producen el mismo valor de la función).
Ejemplos:
* Sea la función de variable compleja: fz=e^z , siendo z=cost+isen(t).
Esta función no es inyectiva pues para múltiplos de t de 2π la función f tiene el mismo valor.
* Otro ejemplo es la función fz=z, siendo z=rcost+isent. La raíz cuadrada de z es rcost2+isent2. Pero en el caso dez=rcost+2π+isent+2π la raíz cuadrada será rcost2+π+isent2+π, que no es lo mismo que rcost2+isent2. Sin embargo para z=rcost+4π+isent+4π, la raíz cuadrada es rcost2+2π+isent2+2π que sí es lo mismo que rcost2+isent2.
Esto es un problema, pues en el caso de funciones que representen curvas cerradas en cuyo interior esté el origen de coordenadas, la imagen del punto inicial será distinta de la imagen del mismopunto en la gráfica, después de girar 2π.
Esto tiene importancia pues cuando integramos con variables reales lo hacemos a lo largo de un segmento de recta (la recta de los números reales) pero en variables complejas integramos, en general, a lo largo de una curva (pues los números complejos son puntos del plano complejo).
Si integramos a lo largo de una curva, tan rara como esta, desde un puntoinicial hasta otro punto final, coincidente con el de inicio, la imagen del punto inicial y final no serán las mismas (aunque gráficamente lo parezcan).

Obsérvese que en el caso de que el camino cerrado no incluya el cero no tenemos este problema, pues el ángulo nunca supera los 2π.
Así imaginamos que el segmento r recorre toda la curva desde el punto inicial hasta el mismo punto.

Dada unafunción, determinada, en el plano complejo, entonces habrá una región del plano en que no tengamos este problema. En el caso de la imagen primera el problema se plantea cuando el ángulo t llega a t + 2π. 
La idea genial de Riemman fue considerar varias capas en la imagen (separadas una distancia infinitesimal), de tal manera que cuando el ángulo llegue a t + 2π (a ese punto se llama punto deramificación) se pasa a la capa superior (sería algo parecido a una superficie helicoidal de pendiente infinitesimal)
En el caso de la función fz=z , sólo hay dos capas, pero otras funciones pueden tener más capas.
Entonces podemos considerar que el dominio de una función de variable compleja no está en el plano complejo sino en una superficie, como se muestra en la siguiente figura.

A esasuperficie se llama Superficie de Riemman.

MAPEO CONFORME
Consideremos ahora una aplicación conforme entre dos espacios de Riemman orientables  f:M→N  que conserva por definición el ángulo entre vectores.
Es decir, si α, β son curvas en  M que se cortan formando un cierto ángulo, entonces las imágenes por f de esas curvas f o α, f o β se cortan formando exactamente el mismo ángulo.

Enresumen, la imagen de un par de vectores por una aplicación conforme conserva el ángulo que forman esos vectores, pero no necesariamente su módulo.

La relación con las funciones de variable compleja es muy clara. Si f:C→C es una función derivable compleja, entonces su derivada en un punto arbitrario z0 es un número complejo, que se puede escribir en forma polar:

Si ahora consideramos dos...