numeros complejos

´
Introduccion a los numeros complejos
´

´
´
1.1. ¿Como y por que aparecen los numeros complejos?
´
Los n´ meros complejos no han entrado en la matem´ tica del mismo modo en
u
a
que lo han hecho los n´ meros naturales, los racionales o incluso los reales, es deu
cir, como construcciones abstractas buscadas ex profeso par resolver un problema:
los n´ meros complejos se han colado“por la puerta de atr´ s”. Los matem´ ticos se
u
a
a
toparon de frente con ellos sin saber muy bien qu´ hacer, y fueron considerados
e
´
una anomal´a, algo embarazoso que “ensuciaba” el Algebra, hasta que primero
ı
Argand y despu´ s, sobre todo, Gauss, les dieron el estatus que les correspond´a al
e
ı
dar una interpretaci´ n geom´ trica de los n´ meros complejos. A partir de ah´ reo
e
uı
velan todo su potencial pr´ ctico y entran por la puerta grande en la f´sica y en la
a
ı
ingenier´a, de modo que actualmente, la teor´a m´ s moderna sobre la Naturaleza,
ı
ı a
la mec´ nica cu´ ntica, no se puede formular sin emplear n´ meros complejos; el dia
a
u
se˜ o de circuitos de corriente alterna se basa en los complejos; la teor´a de control
n
ı
de sitemas tiene su expresi´ nm´ s simple en n´ meros complejos. . . y los n´ meros
o
a
u
u
complejos pueblan la matem´ tica con la naturalidad con que antes lo hac´an los
a
ı
n´ meros reales.
u
Si uno busca en la Wikipedia, la primera menci´ n de la ra´z cuadrada de un
o
ı

4

´
o
1 Introducci´ n a los numeros complejos

n´ mero negativo se atribuye a Her´ n de Alejandr´a, en el siglo I de nuestra era.
uo
ı
No est´ muy claro en qu´ consiste tal menci´ n, pero s´ parece claro que la primera
a
e
o
ı
manipulaci´ n de n´ meros complejos se debe a Girolamo Cardano (1501–1576), a
o
u
quien debemos las f´ rmulas para la soluci´ n de las ecuaciones de grado 3 y 4.
o
o
Cardano era, adem´ s de matem´ tico, un afamado m´ dico de Mil´ n. Las f´ rmua
a
e
a
o
las de la soluci´ n de laecuaci´ n c´ bica no son suyas, sino que se deben a Tartaglia,
o
o u
otro matem´ tico contempor´ neo suyo, a quien persuadi´ de que se las revelara, en
a
a
o
´
1539, bajo el juramento de no divulgarlas hasta que este las publicara. Cardano
no cumpli´ su promesa y en 1545 las f´ rmulas aparecieron en su Ars magna, obra
o
o
´
considerada hoy como el germen del algebra.
Para ilustrar las f´rmulas, Cardano resuelve una serie de ejemplos. En el cap´tuo
ı
lo 37 se plantea el siguiente problema: dividir un segmento de longitud 10 en dos
trozos tales que el rect´ ngulo cuyos lados tienen la longitud de esos trozos tenga
a
´
area 40. Si los dos trozos miden x y 10 − x, la ecuaci´ n que plantea el problema
o
es
x(10 − x) = 40.
El propio Cardano admite que el problema no tienesoluci´ n, ya que el rect´ ngulo
o
a
´
de mayor area que se puede construir, un cuadrado, corresponder´a a la divisi´ n
ı
o
´
del segmento en dos iguales de longitud 5, y tendr´a, por tanto, area 25. Apliı
cando las f´ rmulas√ las ra´ces de las ecuaciones cuadr´ ticas, Cardano obtiene
o
de
ı
a
√
5 + −15 y 5 − −15 como longitudes de los segmentos. Desde luego, afirma que tales solucionesson “imposibles”, porque involucran la ra´z cuadrada de
ı
n´ meros negativos; sin embargo, si uno las multiplica,
u
√
√
√
(5 + −15)(5 − −15) = 52 − ( −15)2 = 25 − (−15) = 40,
´
que es, efectivamente, el area buscada. As´ que concluye que, de alguna manera
ı
“sutil” ambas expresiones son soluci´ n de la ecuaci´ n, pero se apresura a denomio
o
nar
ı
u
o
√ “quantitas sophistica”, esdecir, algo as´ como “n´ mero formal”, a la expresi´ n
−15.
´
El algebra de Cardano fue ampliada y desarrollada posteriormente por Bombelli (1526–1572), cuyos trabajos se recogen en su obra L’algebra, publicada en
Bolonia en 1572. En dicha obra Bombelli vuelve a manipular n´ meros complejos,
u
y lo hace correctamente. El ejemplo m´ s destacable es la manipulaci´ n que hace
a
o
de...