numeros complejos

Los números complejos conforman un grupo de cifras resultantes de la suma entre un número real y uno de tipo imaginario. Un número real, de acuerdo a la definición, es aquel que puede ser expresado por un número entero (4, 15, 2686) o decimal (1,25; 38,1236; 29854,152). En cambio, un número imaginario es aquél cuyo cuadrado es negativo. El concepto de número imaginario fue desarrollado porLeonhard Euler en 1777, cuando le otorgó a v-1 el nombre de i (de “imaginario”).

Los números complejos son una extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene. El conjunto de los números complejos se designa como \scriptstyle \mathbb{C}, siendo \scriptstyle \mathbb{R} el conjunto de los reales se cumple que \scriptstyle \mathbb{R}\sub\mathbb{C}. Losnúmeros complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencia de los reales. Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i), o en forma polar.

Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así como de ramas de las matemáticaspuras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondaselectromagnéticas y la corriente eléctrica.

En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se consideran como puntos del plano: el plano complejo. Este cuerpo contiene a los números reales y los imaginarios puros. Una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra — pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, queafirma que cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones complejas. Los análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis

Definiremos cada complejo z como un par ordenado de números reales (a, b) ó (Re(z), Im(z)), en el que se definen las siguientes operaciones:
Suma
(a, b) + (c, d) = (a+c,\,b+d)Producto por escalar
r(a, b) = (ra,\, rb)Multiplicación
(a, b) \cdot (c, d) = (ac - bd, ad + bc) Igualdad
(a, b) = (c, d) \iff a = c \and b = d

A partir de estas operaciones podemos deducir otras como las siguientes:
Resta
(a, b) - (c, d) = (a-c,\, b-d)División
\frac{(a, b)}{(c, d)} = {(ac+bd,\,bc-ad) \over c^2+d^2} = \left({ac + bd \over c^2 + d^2} , {bc - ad \over c^2 + d^2}\right)

Alprimer componente (que llamaremos a) se le llama parte real y al segundo (que llamaremos b), parte imaginaria. Se denomina número imaginario puro a aquel que está compuesto sólo por la parte imaginaria, es decir, aquel en el que a = 0 .

Cuerpo de los números complejos[editar]

Los números complejos forman un cuerpo, el cuerpo complejo, denotado por C (o más apropiadamente por el carácterunicode ℂ ). Si identificamos el número real a con el complejo (a, 0), el cuerpo de los números reales R aparece como un subcuerpo de C. Más aún, C forma un espacio vectorial de dimensión 2 sobre los reales. Los complejos no pueden ser ordenados como, por ejemplo, los números reales, por lo que C no puede ser convertido de ninguna manera en un cuerpo ordenado.

Unidad imaginaria[editar]

Tomando encuenta que (a, 0) \cdot (0, 1) = (0, a), se define un número especial en matemáticas de gran importancia, el número i o unidad imaginaria, definido como
\mathrm{i} = (0, 1) \,\!
De donde se deduce inmediatamente que,
\mathrm{i}^2 = \mathrm{i} \cdot \mathrm{i} = (0, 1) \cdot (0, 1) = (-1, 0) = -1
Valor absoluto o módulo, argumento y conjugado[editar]

Valor absoluto o módulo de un número...