Numeros Complejos

Números complejos
Introducción
Los números que hoy llamamos “complejos” fueron durante muchos años motivo de polémicas y controversias entre la comunidad científica. Poco a poco, por la creciente evidencia de su utilidad, acabaron
por ser comúnmente aceptados, aunque no fueron bien comprendidos hasta épocas recientes. Nada hay
de extraño en ello si pensamos que los números negativos no fueronplenamente aceptados hasta finales
del siglo XVII.
Los números complejos hacen sus primeras tímidas apariciones en los trabajos de Cardano (1501-1576)
y Bombelli (1526-1672) relacionados con el cálculo de las raíces de la cúbica o ecuación de tercer
grado. Fue René Descartes (1596-1650) quien afirmó que “ciertas ecuaciones algebraicas sólo tienen
solución en nuestra imaginación” y acuñó elcalificativo “imaginarias” para referirse a ellas. Desde el
siglo XVI hasta finales del siglo XVIII los números complejos o imaginarios son usados con recelo,
con desconfianza. Con frecuencia, cuando la solución es un problema resulta ser un número complejo
se interpreta esto como que el problema no tiene solución. Para Leibnitz “el número imaginario es un
recurso sutil y maravilloso del espíritudivino, casi un anfibio entre el ser y el no ser.”.
Las razones de todo esto son claras. Así como los números reales responden al problema bien cotidiano
de la medida de magnitudes, no ocurre nada similar con los números complejos. Mientras los matemáticos necesitaron interpretar en términos físicos sus objetos de estudio, no se avanzó mucho en la
comprensión de los números complejos.
El éxito deEuler y Gauss al trabajar con números complejos se debió a que ellos no se preocuparon
de la “naturaleza” de los mismos; no se preguntaron “¿qué es un número complejo?”, sino que se
dijeron “a ver, para qué sirven, qué puede hacerse con ellos”. Es Gauss quien definitivamente concede
a los números complejos un lugar privilegiado dentro de las matemáticas al probar en 1799 el conocido
como TeoremaFundamental del Álgebra que afirma que toda ecuación polinómica de grado n con
coeficientes complejos tiene, si cada raíz se cuenta tantas veces como su orden, n raíces que también son
números complejos. Aunque la demostración de este teorema la verás más adelante en cursos superiores
ya puedes entender lo que significa. Fíjate en cada una de las ecuaciones:
x + 3 = 0,

2x + 3 = 0,

Cuyassoluciones
x = −3,

x = 3/2,

x 2 − 2 = 0,
√
x = ± 2,

x 2 + 2x + 2 = 0

x = 1±i

tienen sentido cuando x es es, respectivamente, un número entero, racional, real o complejo. Podría
ocurrir que este proceso de ampliación del campo numérico continuara. ¿Qué ocurrirá si ahora consideDepartamento de Análisis Matemático

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Prof. Javier Pérez

Números complejos

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ramosecuaciones polinómicas con coeficientes complejos? Por ejemplo:
√
√
x5 + (1 − i)x4 + (1/5 − i 2)x2 − 8x + 3 − i/ 3 = 0
¿Cómo serán sus soluciones? ¿Aparecerán también nuevos tipos de números? El Teorema Fundamental
del Álgebra nos dice que esa ecuación tiene soluciones que también son números complejos y, por tanto,
que no aparecerán ya por este procedimiento nuevos tipos de números.
El término, hoyusado de “números complejos” se debe a Gauss, quien también hizo popular la letra “i”
que Euler (1707-1783) había usado esporádicamente. En 1806 Argand interpreta los números complejos
como vectores en el plano. La fecha de 1825 es considerada como el nacimiento de la teoría de funciones
de variable compleja, pues se publica en dicho año la Memoria sobre la Integración Compleja que Cauchyhabía escrito ya en 1814.
Recordemos, finalmente, la afirmación de Hadamard “El camino más corto entre dos verdades del campo
real pasa con frecuencia por el campo complejo”.
Definición. Consideremos en el conjunto R2 las operaciones de adición y producto definidas por
(a, b) + (c, d ) = (a + c, b + d )
(a, b)(c, d ) = (ac − bd , ad + bc)
Es muy fácil comprobar las propiedades asociativa,...