Numeros complejos

Universidad de Concepci´n
o
Facultad de Ciencias F´
ısicas y Matem´ticas
a
Departamento de Ingenier´ Matem´tica
ıa
a
´
Ejemplos de ejercicios en cert´menes de Algebra I,525147
a
Tema: N´meros complejos, 6.06.2011
u

1. Sea C el subconjunto de los n´meros complejos cuyo argumento principal es
u
π
, es decir,
6
π
.
C = w ∈ C : Arg(w) =
61.1 Sea z un n´mero complejo en C. ¿Cu´les son Arg(−z) y Arg(¯)?
u
a
z
(1 − i)17
en forma polar.
1 + i17
1.3 ¿Qu´ elementos z ∈ C satisfacen
e
1.2 Escriba

z

(1 −i)17
< 210 ?
1 + i17

2. Determine el conjunto de los n´meros complejos z = x + i y tales que
u
|z|2 + Re z 2 + 2 i z = 0.
Repres´ntelos geom´tricamente en el plano de Argand.e
e
3. Determine
3.1 el conjunto de n´meros complejos z con parte real no nula tales que
u
z2
resulte ser imaginario puro. Indique adem´s a que corresponde
a
z+igeom´tricamente dicho conjunto en el plano de Argand,
e
4 + 4i
√
2 3 − 2i

3.2 el n´mero
u
4. Sea a = cis

π
6

6

.

.

4.1 Calcule el n´mero complejo z = 1 +
u

√

3i4.2 Pruebe Re(z) = 0.
4.3 Resuelva en C la ecuaci´n ω 5 = 32.
o
π
5. Considere el n´mero complejo w = 1 + i tan 12 .
u

5.1 Escriba w y w en forma polar.
¯
1

5a17 .

5.2 Demuestre, sin usar inducci´n, que
o
wn + wn = 2 sec
¯

π
12

n

cos

nπ
.
12

2+i
con a ∈ R. Determine la forma polar
a+i
de z sabiendo que seencuentra sobre la recta bisectriz al primer cuadrante
del plano complejo. Especifique el valor de a que hace esto posible.

6. Considere el n´mero complejo z =
u

7. Encuentre lasra´ cuartas de
ıces
z=

5i(2 + 2i)
.
(1 − i)(2 − i)(3 − i)

7.1 Describa el lugar geom´trico de los n´meros w ∈ C que satisfacen
e
u
ww + 1 = 2 + |w|.
¯

2