numeros complejos

Capítulo )
Números Complejos
).". El cuerpo de los complejos
Con los números reales en el horizonte vamos a presentar un cuerpo que se
acostumbra a denotar por ‚ y llamar números complejos.
Definición 1.
El cuerpo ‚ está formado por todos los pares ordenados de números reales, en
éste cuerpo se definen las operaciones siguientes:
Suma
Multiplicación

a+ß ,b  a-ß . b œ a+  -ß ,  . ba+ß ,b † a-ß . b œ a+-  ,.ß +.  ,- b

Igualdad
Como acabamos de definir los números complejos como pares ordenados se tiene
que:
a+ß ,b œ a-ß . b Í + œ - • , œ .

Nota 1.
Con estas definiciones es posible verificar los axiomas de cuerpo, cuya tarea
dejaremos al lector.
Nótese que À a a+ß ,b − ‚

El neutro de la suma es el a!ß !b.

El inverso de la suma es a  +ß  ,b.

Elneutro de la multiplicación es a"ß !bÞ

El inverso de la multiplicación es Œ
Nota 2.

+
,
ß
Þ
+#  , # +#  , #

Las propiedades o teoremas de todo cuerpo, como las que se expusieron para el
caso de los números reales en el capítulo anterior, también los cumple ‚.
Notación

Al inverso multiplicativo para cada elemento D œ a+ß ,b de ‚, lo denotaremos por:
D " œ [a+ß ,bÓ"Definición 2.
Sean D" ß D# − ‚ß definiremos:

D"  D # œ D "  Ð  D # Ñ
D"
œ D" † D#"
D#

Definición 3.

Dado D œ a+ß ,b se llama parte real de D a la primera componente del par a+ß , b y
parte imaginaria a la segunda componente, las que se acostumbran a denotar por:
V/ D œ +,

M7 D œ ,

Los complejos de la forma a+ß !b se acostumbran a llamar reales puros y
simplemente se denotan por+ß es decir a+ß !b œ +. A su vez los de la forma a!ß , b
se llaman imaginarios puros y se denotan por ,3Þ

Note que si , œ " Ê 3 œ a!ß "bÞ

También que 3# œ a!ß "b † a!ß "b œ a! † !  " † "ß ! † "  " † !b œ a  "ß !b œ  "

).#. Representación gráfica.
Complejo Conjugado.
Como se han definido los complejos como pares ordenados, es posible
representarlos gráficamente en el planocartesiano, por tanto el complejo D œ a+ß ,b
está representado por el par ordenado a+ß ,bÞ fig. 1

y

b

o

z = (a, b)

a

x

fig. 1
Definición 4.

Sea D œ a+ß ,b definimos el producto de un real por un complejo mediante:
5 D œ 5 a+ß , b œ a5+ß 5, b

Propiedades 1.
Sean D" ß D# − ‚ y 5ß : − ‘ entonces
1. 5 D" − ‚

2Þ 5 a:D" b œ a5:bD"

3Þ a5  :bD" œ 5D"  :D"

4Þ 5 aD"  D#b œ 5D"  5D#
5. " D œ Dß " − ‘
Demostración.
Todas son inmediatas por tanto se dejan propuestas.

Forma canónica.

Notemos que para todo complejo D œ aBß Cb se tiene:

D œ aBß Cb œ B a"ß !b  C a!ß "b œ B "  C3 œ B  C3 ß lo que se justifica por la
definición y notación establecida con anterioridad.
Por tanto se llama forma canónica de un complejo Dß a:
D œ B  C 3ß Bß C − ‘
Conrespecto a las operaciones definidas anteriormente, se tienen:
1. D"  D# œ Ð+  ,3Ñ  a-  .3b œ +  -  a,  . b3

2. D" D# œ Ð+  ,3Ña-  .3b œ Ð+-  ,.Ñ  a+.  ,- b3ß se usó 3# œ  "

3. 5 D" œ 5 Ð+  ,3Ñ œ 5+  5,3ß a 5 − ‘Þ

Los inversos de la suma y multiplicación de +  ,3 son:
+
,
 +  ,3 y #
 #
3
#
+ ,
+  ,#

Complejo conjugado.
Definición 5.
Sea D œ +  ,3 se llamacomplejo conjugado de Dß simbólicamente D y se define
por D œ +  ,3
Propiedades 2.
Sean Dß A − ‚ y 5 − ‘
1. D œ D
2. 5D œ 5 D
3. D  A œ D  A
4. DA œ D A
D
D
5. Š ‹ œ
A
A
Demostración.
Son todas sencillas, solo demostraremos dos de ellas.
$Þ Sean D œ +  ,3 • A œ -  .3 luego

D  A œ +  -  a,  . b3 œ +  -  a,  . b3 œ +  ,3  -  .3 œ D  A

4. DA œ Ð+  ,3Ña-  .3b œ+-  ,.  a+.  ,- b3 œ +-  ,.  a+.  ,- b3
œ +-  +.3  ,-3  ,. œ a+  ,3ba-  .3b œ D A

).$. Módulo.
Sea D œ +  ,3 se define el módulo del complejo Dß simbólicamente lDlß al
número real
lDl œ È+#  , #
Note que si el complejo es real puro su módulo coincide con su valor absoluto.
Propiedades 3.

1. lDl   0, lDl œ ! Í D œ !  !3
2. l5Dl œ l5llDlß a 5 − ‘
3. lDl œ l  Dl œ lDl...