numeros complejos

Instituto Tecnol´
ogico Aut´
onomo de M´exico.

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Numeros Complejos
El concepto de n´
umero imaginario y despu´es complejo se conoce en las
matem´aticas y se utiliza desde tiempos remotos. La historia de su surgimiento
refleja aquel rasgo general de desarrollo de los c´alculos matem´aticos donde la
introducci´on y utilizaci´on de las operaciones inversas conduce, como regla, a lanecesidad de ampliaci´on del dominio num´erico. As´ı, la introducci´on de la sustracci´on necesito al fin y al cabo de la complementaci´on de la serie natural con
los n´
umeros negativos, la divisi´on condujo a la ampliaci´on de la serie natural
hasta el conjunto de los n´
umeros racionales. A su vez la operaci´on de radicaci´on
resulto la causa operativa de introducci´on del concepto del n´umero real. El caso
particular, cuando se trata se la extracci´on de ra´ız de potencia par de un n´
umero
negativo exigia la introducci´on de los n´
umeros imaginarios.
S´olo en el siglo XVI en relaci´on con la resoluci´on algebraica de las ecuaciones
c´
ubicas R.Bombelli(1572) se aparto del tratamiento de los n´
umeros imaginarios
como misteriosos o absurdos y elaboro las reglas de lasoperaciones aritm´eticas
con los n´
umeros imaginarios. No obstante, a´
un en el curso de mucho tiempo,
a pesar de algunas ideas exitosas (por ejemplo, de Wallis) respecto a la interpretaci´on de los n´
umeros imaginarios y complejos, su naturaleza no fue comprendida y la relaci´on con ellos era como con cierta sustancia sobrenatural en
las matem´aticas. Incluso en el a˜
no 1702 G.W. Leibnizescribio que los n´
umeros
imaginarios es un hermoso y maravilloso refugio del esp´ıritu divino, casi como
la duabilidad entre la existencia y la no existencia. En la historia no hubo
insuficiencia en semejantes afirmaciones sobre las propiedades m´ısticas de los
imaginarios, tambi´en por parte de otros cient´ıficos.
La poca claridad del concepto de n´
umero complejo no podia esconder suutilidad en la resoluci´on de problemas concretos. Una gran cantidad de los
hechos acumulados dio motivo a los matem´aticos del siglo XVIII para trasladar
el concepto de lo imaginario tambi´en al campo de las magnitudes variables. Ya
que este traslado se realizaba para casos concretos, entonces en dependencia
del car´acter del problema, las magnitudes imaginarias se representaban frente
a losinvestigadores con diferentes ”apariencias”: f´ısica, geom´etrica o incluso
anal´ıtica. El problema de la interpretaci´on cient´ıfica de los n´
umeros complejos
se resolv´ıa a la vez en diferentes planos, junto con el desarrollo general del
an´alisis matem´atico.
DEFINICION 1: n´
umero complejo.
Un n´
umero complejo es todo aquel de la
forma a + i b, donde ”i” es la unidad imaginaria y a,b dos n´
umeros reales
cualesquiera.
DEFINICION 2: Igualdad
Dos n´
umeros complejos z1 = a + i b y z2 = c + i d, son
iguales si y s´olo si a = c y b = d.

Dr.Mauricio Garc´ıa Esteban

Algebra Lineal/2001.

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DEFINICION 3: Conjugado
Dado el n´
umero complejo z2 = c + i d, al n´
umero
complejo c − i d le llamaremos conjugado dez2 y lo representaremos con z¯2
Forma cartesiana
Sean z1 = a + i b y z2 = c + i d, dos numeros complejos, y sus conjugados
z¯1 = a − i b y z¯2 = c − i d, entonces
• la suma de dos numeros complejos es otro n´
umero complejo,
z1 + z2 = (a + i b) + (c + i d) = (a + c) + i(b + d)
• el producto de dos numeros complejos es otro n´
umero complejo,
z1 · z2 = (a + i b) · (c + i d) = (ac − bd) +i(ad + bc)
• el cociente de dos numeros complejos es otro n´
umero complejo,
z1
z1 z¯2
(a + i b)(c − i d)
(ac + bd) + i(bc − ad)
=
=
=
z2
z2 z¯2
(c + i d)(c − i d)
c22 + d22
Propiedades de la suma y la multiplicaci´
on de los n´
umeros complejos
∀, z1 , z2 ∈ C
• Cerradura de la suma, z1 + z2 ∈ C
• Cerradura de la multiplicaci´on, z1 · z2 ∈ C
• Asociativa de la suma, (z1 + z2 )...